体会乘法运算本质的一致性

王加林

摘要：在小学数学总复习教学中，设计并实施《乘法运算总复习》一课，一步步地引导学生打通整数乘法、小数乘法、分数乘法算法上的关联，体会乘法运算算理上的一致性，把握乘法运算的本质：计数单位与计数单位相乘得到新的计数单位，个数与个数相乘得到新的个数。具体教学环节有：复习旧知，梳理乘法运算的知识体系；明确算法，初步感受乘法运算的相通之处；分析算理，充分体会计数单位及其个数的关键作用；提炼本质，真正理解乘法运算的一致性。

关键词：小学数学；总复习；乘法运算；一致性

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）更强调“课程（教学）内容的结构化”。［1］对此，新课标特别提出，在小学数与代数领域的教学中，要引导学生感悟数的概念本质上的一致性，体会数的运算本质上的一致性。［2］为此，新课标强调了计数单位的概念。如：“通过数的认识和数的运算有机结合，感悟计数单位的意义，了解运算的一致性。”［3］“通过整数、小数、分数的运算，进一步感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性。”［4］“在理解整数、小数、分数意义的同时，理解整数、小数、分数基于计数单位表达的一致性。”［5］

根据这样的要求，笔者在小学数学总复习教学中，设计并实施了《乘法运算总复习》一课，一步步地引导学生打通整数乘法、小数乘法、分数乘法算法上的关联，体会乘法运算算理上的一致性，把握乘法运算的本质：计数单位与计数单位相乘得到新的计数单位，个数与个数相乘得到新的个数。

一、复习旧知，梳理乘法运算的知识体系

师今天，我们要复习乘法运算。首先，请大家回忆一下：小学阶段，我们学过哪些乘法运算？

（在学生回答的基础上，梳理形成如图1所示的板书。）

师（出示图2—图7）下面，请同学们看一下教材中的几个情境与例题，想一想怎么列式，说一说算式的意义。

（学生依次回答问题。）

师整数乘法、小数乘法、分数乘法分别有什么意义？是怎样计算的？

生整数乘法的意义是求几个相同加数的和，如13×24就表示24个13或13个24相加，计算方法是：先用13乘24中的4，再用13乘24中的20，最后把两次计算结果相加。

师小数和分数是整数的扩充，整数乘法的意义就是乘法的基本意义。这里需要注意：用13乘24中的4和20也分别是分为几步的哦。

生（补充）先用13中的3乘4，再用13中的10乘4，最后把两次计算结果相加……

生小数就是分母为10、100、1000……的分数，小数乘法的意义和分数乘法的意义一样。小数乘法的计算方法和整数乘法差不多，不同之处在于：计算后数一数乘数中有几位小数，就在积的末尾数出几位，点上小数点。

生分数乘法的意义是求一个数的几分之几，计算方法是：分子乘分子，分母乘分母。

师分数乘法的意义可以这样理解，但是没有说到本质上，还没说出与整数乘法意义的相通之处。这正是我们本节课要重点解决的问题。让我们从三种乘法的算法开始探索。

乘法运算的有关知识几乎贯穿于小学六年的数学学习中。因此，课始，笔者引导学生全面回顾小学阶段乘法运算的有关知识，分整数乘法、分数乘法、小数乘法三类，梳理相应的知识体系。特别地，笔者利用学生熟悉的教材情境与例题，更好地唤醒与激活学生的记忆，引导学生回忆各种乘法運算的意义及算法，适度激发认知冲突，为后面探索乘法运算的一致性打好基础。

二、明确算法，初步感受乘法运算的相通之处

师老师准备了几组乘法运算的习题，我们来具体地看一看乘法是怎么运算的，它们有什么共同点。（出示三组算式，如图8）你是怎么计算的？

生第一组的2×30，我是这样计算的：先计算2×3＝6，再在得数后面添上１个“0”。20×30也是先计算2×3＝6，再在得数后面添上2个“0”。

生第二组的2×37可以看成21×37，积的分子是2×3＝6，分母是1×7＝7，得数是67。25×37的计算方法是一样的，都是分子乘分子，分母乘分母，得数是635。

生第三组的2×03和02×03的计算方法一样，都是先按整数乘法计算，再确定积的小数位数。

师同学们，三组算式的计算方法看起来并不相同，它们之间有没有联系呢？

生每个算式的计算都含有2×3＝6这一步。

在小学六年的数学学习中，学生积累了大量的运算经验。尤其是算法，因为反复使用，所以掌握得比较牢固。由此出发，笔者设计三组关系密切的整数乘法、小数乘法、分数乘法算式，通过具体的算式，帮助学生明确算法。在此基础上，笔者引导学生发现共同的计算步骤“2×3＝6”，初步感受各种乘法运算的相同之处，从而为后面分析算理，明白一致性的根源（运算的本质）做铺垫。

三、分析算理，充分体会计数单位及其个数的关键作用

师为什么会这样呢？我们尝试用画图的方法分析背后的道理，即算理。你会画图表示2×30吗？（出示图9）谁来解释一下？

生根据这幅图，我们可以把一行10个小方格看成一个计数单位“十”，那么，30就是3个十，2×3＝6说明有6个十，也就是60。

师不错。认识数，学习计数法（数的组成）时，我们就强调过，整数其实是由计数单位及其个数组成的。以此为基础，这里的2×3＝6其实就是个数相乘得到新的个数。用完整的计算过程说明算理，就是2×30=（2×3）×10=60。那20×30呢？（出示图10）谁来解释？

生这里，我们把十行十列（10×10）100个小方格作为一个计数单位“百”，那么2行、3列，2×3=6，一共有6个百。用完整的计算过程说明算理，就是20×30=（2×3）×（10×10）=600。

师刚才的计数单位“十”是由计数法直接得到的，这里的计数单位“百”又是怎么得到的？为什么要得到这个新的计数单位？

生这里的“百”是由20的计数单位“十”和30的计数单位“十”相乘得到的。看方格图可以发现，该式的计算结果用“十”作为计数单位来计数太麻烦了，用“百”作为计数单位更方便。

师如果是200×300呢？画图应该怎么表示？用完整的计算过程说明算理呢？

生200×300=（2×3）×（100×100）=60000。

师刚才，我们用画图的方法理解了2×30、20×30、200×300这些整数乘法的算理。那么，分数乘法的算理你会画图分析吗？

生（展示画法，如图11）37的计数单位是17，37中有3个17，2×3=6说明有6个17。用完整的计算过程说明算理，就是2×37=（2×3）×17=67。

师那25×37呢？

生（展示画法，如图12）计算25×37，可以把25的计数单位15和37的计数单位17相乘，也就是“分母相乘”，得到135，作为结果的计数单位，也就是图中的一小格；2×3=6即“分子相乘”，说明有6个135。用完整的计算过程说明算理，就是25×37=（2×3）×15×17=635。

师再来看小数乘法的算理。

生我们可以根据小数和分数的关系，把小数看作分数来理解算理。（展示画法，如图13）比如2×0.3，把0.3看作310。用完整的计算过程说明算理，就是2×0.3=（2×3）×0.1=0.6。

生（展示画法，如图14）同理，0.2×0.3=（2×3）×（0.1×0.1）=0.06。

相对而言，学生对算理比较生疏——除了新授课探索算法时需要理解算理，后续的具体计算中主要是在运用算法。而算理决定算法，是算法的本质，故探索乘法运算的一致性，主要是分析算理，回归运算的基本意义，发现不同运算根本上的相通之处。因此，笔者借助方格图，引导学生分析三组乘法算式算法背后的算理，寻找共同的计算步骤“2×3＝6”出现的根本原因。在多次探索算理的过程中，学生能够体会到乘法运算其实就是计数（数方格），其关键就是数概念中的计数单位及其个数。此外值得一提的是，笔者在引导学生画图分析整数乘法算理的基础上，有意识地让学生自主画图分析分数乘法和小数乘法的算理——一来体现整数运算的基础作用，二来培养学生的关联迁移（举一反三）能力。

四、提炼本质，真正理解乘法运算的一致性

师刚才，我们通过画格子图，理解了整数乘法、分数乘法和小数乘法的算理。现在，你有没有进一步发现这三种乘法运算之间的共性呢？

（教师集中出示图9—图14和6个完整的計算过程。）

生我发现，6个式子中的2×3=6其实都是在算计数单位的个数，只不过6个式子算出的计数单位不一样。

生我觉得，乘法运算的算理都可以理解成两个乘数的计数单位相乘得到新的计数单位，计数单位的个数相乘得到新计数单位的个数。

生我觉得，乘法作为加法的简便计算，其实也是在计数，只不过为了方便，我们会根据算式中的乘数来选择合适的计数单位，然后用乘法来算计数单位的个数。

师同学们总结得非常好！乘法运算的本质就是计数，也就是计数单位的累加。乘法运算可以统一表达为：计数单位与计数单位相乘得到新的计数单位，个数与个数相乘得到新的个数。（稍停）复习到此，与以前相比，你对乘法运算有了什么新的理解？还有什么问题？

生我有个问题：上课开始有同学提到的13×24，怎么用今天学习的知识理解？

生我知道，可以利用数位分解和乘法对加法的分配律把13×24拆开来，也就是13×24=10×20+10×4+3×20+3×4。这样，就能用今天学习的知识理解了。

在对具体乘法算式明确算法、分析算理的基础上，笔者进一步引导学生比较归纳，提炼出乘法运算的本质，从而真正理解乘法运算的一致性。特别值得一提的是，最后两位学生的问答很好地补充了笔者教学设计的不足，关注了多个计数单位累计的数（可以分解成几个单一计数单位累计的数）的乘法，进一步丰富了乘法运算一致性的内涵。

参考文献：

［1］ 赵鸿，赵瑞生.“内容结构化”，更好地实现“学生主体”——以“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的教学改进为例［J］．教育研究与评论（小学教育教学），2022（12）：63.

［2］［3］［4］［5］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：18，22，25，85.