理工类课程课程思政的实践方法

李晓焱　闫树熙　马崛

摘  要：该文以高等数学经典知识点定积分的概念为例，结合地方区域特色，挖掘陕北文化资源，将优秀文化资源融入到地方高校的高等数学课程中。根据课程特点，确立思政目标，探寻思政元素切入点，设计教学过程。在此基础上，提出“润物无声”的思政实施方法，对理工类教师开展课程思政具有积极的借鉴意义.

关键词：理工类课程；课程思政；高等数学；定积分；实施方法

中圖分类号：G641        文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2023）26-0164-06

Abstract： This paper is aimed at offering some implementation methods of integrating the ideological and political factors with the science and engineering courses in local colleges and universities， taking the concept of point definite integral in classical knowledge of Advanced Mathematics as an example. By exploring the local and cultural characteristics， setting pre-class emotion and moral aim， the paper seeks possible ways for teaching design. Based on this curriculum design， the ideological and political education is carried out in an imperceptible but effective way. This paper hopes to offer some practical reference significance for other teachers in relative courses.

Keywords： science and engineering courses; curriculum ideology and politics; Advanced Mathematics; definite integral; implementation method

2021年3月，教育部办公厅发布的《关于开展课程思政示范项目建设工作的通知》强调，全面推进不同类型学校的课程思政建设理论研究和教学实践，探索创新课程思政建设方法路径，加快形成“校校有精品、门门有思政、课课有特色、人人重育人”的良好局面[1]。高等数学课程是高等院校面向理工类、经管类等专业大一学生开设的一门公共理论必修课，着重培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力，以及熟练的运算能力，为后续专业课程的学习和今后从事科学研究活动奠定了必要的数学基础。其授课时间长、覆盖广，在榆林学院，每年有8个学院近2 100名本科生学习该门课程。作为一名高等数学任课教师，如何在专业知识讲授的同时能用好课堂主渠道，深入知识的内涵，充分挖掘思政元素，帮助学生树立科学正确的人生价值观，已成了尤为迫切需要解决的问题。

立德树人，在思政课程中引领、在通识类课程中浸润、在社科类课程中深化[2]。然而，理工类课程逻辑性强、抽象性强、应用性强，与思政似乎“风马牛不相及”。基于上述特点，使得思政元素自然无声地融入相比人文社科类课程更具有挑战性[3]。究其原因，首先是课程固有的理性思维与思政倾向的感性思维很难做到真正意义上融合，其次传统理工类课程往往重认知轻情感，重讲解轻互动，重考试轻能力，致使思政元素“刻意”生硬地走进课堂，难以达到“润物无声”的效果。尽管具有很大的挑战性，但目前高等院校大部分的理工类教师已悄然在自己的课程中进行了课程思政的探索与实践[4-6]，并逐步开展课程思政示范项目建设工作。

本文以高等数学定积分的概念为例，面向经管类学生创设有地域特色的、有陕北文化气息的教学案例，让学生产生共鸣。课中对课程内容适当优化，降低学习难度，处理好定量和定性、具体和抽象、主观判断和逻辑推理等关系。主要采用启发式、问题驱动式的教学方法让学生更好地融入课堂，突出以学生为中心的理念，借助多媒体直观、细致地演示“分割、近似代替、求和、取极限”的过程， 使得复杂的问题可视化，从而加深对抽象理论的理解。引导学生概括出定积分的概念，启发学生领会解决问题中所蕴含的数学思想，并提高学生应用数学解决问题的能力。

一  课程思政目标

让学生了解陕北地域特色文化，充分利用红色资源，激发学生的学习热情和学习兴趣；介绍中国古代著名的刘徽“割圆术”，提升学生的数学文化自信；在理解概念、升华思想的过程中激发学生的求知欲，主动参与课堂讨论，培养学生严谨态度和探索未知世界的精神；应用高等数学解决生活中的实际问题，增加学生的社会责任感；通过定积分思想中量变与质变的关系，培养学生正确的价值观，增强实现强国梦的决心和信心，最大化地发挥高等数学独特的文化育人功能，使得应用型本科院校经管类的学生拓宽数学的知识性和人文性。思政目标如图1所示。

二  教学设计思路

定积分的概念是高等数学中最重要的概念之一，在力学、几何学、物理学、经济学、生命科学和社会科学等许多领域有着广泛的应用。本节课以“创设问题—探究问题—解决问题—应用问题”作为主线，针对学生熟悉陕北窑洞的特点，从需要多少张麻纸贴窗户引入曲边梯形的面积计算问题，借鉴刘徽“割圆术”的思想找到解决问题的方案和步骤。进一步提及定积分在其他领域的背景和应用，将这些问题归结为一类特殊和式的极限，找出解决此类应用问题的共性，从共性中抽象出定积分的概念，同时开阔学生的知识视野。针对学生来自经管类专业的特征，利用所学知识解决经济学中的收益问题，提高学生解决实际问题的意识和能力，体会学以致用、用以促学的学习意义。

（一）  创设问题

2021年9月13日，在陕西省榆林市考察调研的习近平总书记来到杨家沟革命旧址强调“要充分运用红色资源”“赓续红色血脉”[7]。窑洞作为陕北一张响亮的名片，为中国革命史写下了浓墨重彩的一笔，如图2所示。现如今窑洞不仅是陕北人的居住场所而且是红色文化教育基地。从窑洞的窗格的外部形态引发学生思考，为什么窑洞依山开凿建成拱形？是因為黄土黏性大，直立性强，而拱顶的承重能力比平顶好，能更好地防止泥土掉落，这样修建才有支撑力，坚固耐劳，也充分体现了我国劳动人民的智慧。在陕北，每到过年会把窑洞的窗格重新贴上麻纸，这样既显得明亮又保暖散气，那对于这样一个拱形窗格，我们需要买多少张麻纸呢？对于这个问题，祖先的智慧就是数小方格的个数，边上的非方格也用方格来代替，每个小方格的面积易算，窑洞窗格的近似面积也就可以算出来，需要的麻纸也就确定了。然而窑洞是拱形的，它的准确面积又如何算呢？

基于此背景，创设问题：如何计算拱形窗格的准确面积？进一步提问，如何计算平面曲边图形的面积呢？

（二）  探究问题

提到面积，同学们并不陌生，回顾中学计算过的平面图形的面积，有矩形、梯形、圆和椭圆等规则图形的面积，对于不规则平面图形的面积即一般曲边图形的面积中学并未学到。其实，求曲边图形的面积是个古老的问题，早在公元263年，我国古代杰出的数学家刘徽就创立了“割圆术”。所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形的面积无限逼近圆的面积，当边数不能再增加时，就是圆面积。他在“割圆术”中提出“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这被视为中国古代极限观念的佳作。通过介绍刘徽“割圆术”，让学生切实感受到民族的自豪感及对中国文化的认同感，树立远大的理想和坚定的信念。学生在课堂上不仅能够学到基础知识，还可以开拓境界，熏陶心灵，有利于学生的身心发展。

那么，我们能否把“割圆术”中所蕴藏着的“以直代曲、无限逼近”的数学思想用到求曲边图形的面积中呢？要解决这个实际问题，首先需要将拱形窗格放入二维平面中，如图3所示。建立直角坐标系，结合图形给出曲边梯形的定义。

实际上，会计算曲边梯形的面积，曲边图形的面积就迎刃而解了，因为我们可以通过相互垂直的直线将曲边图形分割成若干个曲边梯形，这样会使得问题直观化和简单化，也使学生对所学内容有感官上的认识，使枯燥的数学问题显得更亲切。要解决所提出的问题，关键点在于如何处理曲边梯形中的这条曲线。如果这条曲线是直线，那由矩形的面积公式就可以得到，而现在是曲线，当然不能用公式。接下来，请同学们留意窗格外部形态特点及引导学生思考矩形与曲边梯形的本质区别在哪里，抓住问题的核心，启发学生思考。经过学生认真讨论，总结为这条曲线是连续的，由连续函数的定义可知曲边梯形的高f（x）在很小的一段区间上变化是微小的，几乎不变。因此把曲边梯形分割成许多个窄曲边梯形，用这些窄曲边梯形的面积和近似代替曲边梯形的面积，当然误差一直存在，用什么方法可以使误差尽量减小？此时需要多媒体动态展示分割越来越多就越接近准确值的过程，从而引出极限的思想。探究问题的设计过程中体现了数学中常用的以简单的图形逼近复杂的图形的思想，为学习多重积分奠定基础。

（三）  解决问题

根据上一节讨论的结果，借助于PPT演示每一步动画，引导学生直观感受无限逼近过程的同时，继续思考如何用数学语言表述每一步的分析过程。分为四步：分割→近似代替→求和→取极限（图4）。

这里需要学生注意两点：一是乘积和式本身虽然与两个“任意”有关，但是乘积和式的极限值与两个“任意”是无关的；二是在取极限时要保证无限细分，就是要让每个小区间都要无限缩小，使得当n→∞时，不仅把区间[a，b]分得无限多，而且还要让每个小区间长度？驻xi无限小。通过逐步层层推导，得出曲边梯形的面积。常言道“冰冻三尺，非一日之寒；滴水穿石，非一日之功”。无限细分，积“小”成多，积沙成塔，最终使得窄矩形的面积和无限逼近曲边梯形的面积。这种由量变引起质变的过程蕴含着由量变到质变的辩证关系。

求曲边梯形的面积属于几何问题，实际上，不均匀密度的细棒质量、变速直线运动的路程、旋转体的体积、变力沿直线所做的功、物体的引力、液体的压力、刚体的转动问题、风险利润和投资决策等问题都可归结为这样一个特殊乘积和式的极限。这些问题背景完全不同，但是在处理问题上有很多共性，引导学生分组讨论归纳总结得出共性，首先所要求的量都对区间具有可加性；其次解决这类问题的方法与步骤完全相同，都是通过这四步得到，分割是为了近似代替，求和是为了取极限得到精确值；最后就是所求的量的极限结构式是相同的，都是特殊乘积和式的极限。那么我们抛去所有背景，把这些共性抽象为一个一般的数学概念，即定积分的概念，也称黎曼积分。结合四步解决问题的过程板书概念，对定积分的记号进行说明，那么曲边梯形的面积就可表示为

在定积分的定义中，两个“任意性”学生不容易理解，一是小区间分割的任意性，二是小区间取点的任意性。若定义中的任意性减少一个，或分割为等分时小区间内取点的任意性，或者保留分割的任意性而小区间内取点全部为小区间左或右端点，就会给出定积分的两个等价定义[8]。另外，对于定积分定义，讨论较多的是如何利用定积分的定义探讨极限问题，也是考研和参加竞赛的同学必须掌握的内容。将[a，b]等分，取？孜i为每个小区间的端点，则

掌握定义的同时也要让学生深入理解定积分思想方法的精髓。概念中蕴含了四步深厚的数学思想，其中“化整为零，积零为整”背后的哲学思想记录着新中国的崛起，中国自20世纪50年代起，每五年绘制一份五年计划，对国民经济和社会发展做出规划。从“一五”到“十四五”一以贯之的目标就是实现现代化，五年一小步，积小胜为大胜，积跬步而至千里，从量变到质变，每一个五年都是在中国特色社会主义道路路标的向导下前进的，都是向强国梦渐进的行军，愿同学们为实现中国梦努力奋斗、勤奋学习，而我们学习的过程就是在求解曲边梯形的面积的过程。每一天认认真真地努力便构成学习的小梯形，最终构成自我成长的大梯形。如今，“十四五”规划必将带领我们向着社会主义现代化强国和更具有幸福感的未来迈进。

（四）  应用概念

定积分概念可以说是高等数学课程中最经典的定义，是后继学习多重积分、曲线、曲面积分概念的铺垫。概念本身具有计算的技巧性和高度的抽象性，是学生最不容易理解的概念之一。看似抽象的数学概念，其实都有实际背景，使得教学目标的实现在讲授的过程中遇到各种困难。为解决实际问题，学生根据客观现象对知识进行凝练，将客观规律浓缩到定积分的概念中，体会概念中化整为零、以直代曲、积零为整和无限逼近的数学思想过程。最后应用概念解决经济学中的收益问题，如假设商品的价格P是销售量x的函数P=P（x），计算当销售量从a到b时的收益为多少？（设x为连续变量）。学生探索利用定积分的概念解决问题。鼓励学生课后搜集更多关于定积分概念的其他案例，认真学习文化知识，学以致用，增加学生的社会责任感。

至此，我们已经会用定积分的概念来解决实际问题，那么再回到一开始提出的问题，如何计算窑洞拱形窗格的准确面积？由实际的测量数据可知，如图5所示。

如果直接利用定义去计算，学生会遇到什么困难？这也正是下节课要讲的知识点微积分的基本公式——牛顿-莱布尼茨公式。并指出概念是从客观现象中抽象出来的，蕴涵着唯物辯证的哲学思想。体会积分思想中量变与质变的关系，学会处理非均匀分布总量的问题，培养学生的科学价值观和钻研精神，感受数学的妙用，激发学生在学习中思考数学的热情。

三  课程思政融入高等数学的实施方法

理工类课程开展课程思政是“育人”这一教育本质对课程的内在需求，是新时代中国语境下的“课程观”，聚焦的是学生情感、态度、价值观的变化成长。因此，本文根据理工类课程的特点，针对经管类学生的特性，从教学方法、教学内容、教学模式和教学情感等方面挖掘思政元素，探寻切入点，以高等数学定积分的概念为例，确立课程思政目标；设计教学过程，寻求“润物无声”的思政实施方法；对于不同专业不同课程，构建典型思政案例，依托教学研究活动，形成课程思政研讨的和谐氛围，将成功的思政案例进行推广并实践。

事实上，在理工类课程中，很多课堂中的细节也体现着思政。例如，在遇到难题时研讨、质疑、辩论，数学推导的缜密，小心求证的谨慎等都是思政元素融入的契机。而且，在很多文献中，教师都提及了思政素材的准备，包括历史任务、文化传承、历史沿革、社会时事、行业现状及前沿发展等，这些都是教师在教学准备中需要时常探索的思政素材。很多课程的思政案例文献还明确指出了思政素材与教学内容之间的对应关系，并写入教学大纲。思政素材准备可以让思政随时发生，而不仅仅是在课程或单元开始。

思政融入课程的关键在于恰到好处地把握融入的时机。事先准备好的思政教学设计，优点在于教师容易进行课堂把控，但不恰当设计往往使思政在教学中变得过于显眼和生硬。因此，思政融入的另一条途径是学生主动，即准备好素材，因课堂而变。教师可以在回答学生问题、解决学生困难或在学生提出质疑时巧妙的融入。例如，在本节内容中，学生会质疑为什么不用窄梯形的面积作近似代替呢？教师试问：用窄梯形代替后，无限细分的极限表达式如何表示？是不是更为复杂？这种以学生为主动的思政方式，看似带有随机性，但又有必然性，其优点在于让思政变得顺理成章、润物无声。

参考文献：

[1] 教育部办公厅关于开展课程思政示范项目建设工作的通知[EB/OL].http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A08/s7056/202103/t20210 322_521681.html.

[2] 高德毅，宗爱东.从思政课程到课程思政：从战略高度构建高校思想政治教育课程体系[J].中国高等教育，2017（1）：43-46.

[3] 孙华.探索教师教学发展的前沿：国际高校教与学的对话[M].北京：北京出版社，2020.

[4] 潘璐璐，徐根玖，台炳龙，等.理工类课程实践课程思政的逻辑及方法——以高等数学函数曲线的凹凸性为例[J].高等数学研究，2020，23（1）：22-25，50.

[5] 李洪亮，裴慧丽.定积分概念教学方法思考[J].教育进展，2020，10（2）：120-124.

[6] 李媛媛.“课程思政”理念融入高等数学课程教学的策略探究[J]产业与科技论坛，2022，21（4）：145-146.

[7] 全家悦.用好红色资源，赓续红色血脉[N].陕西日报，2021-09-24（1）.

[8] 王烨，李雨生，卜长江.定积分定义中的两个任意性[J].高等数学研究，2021，24（6）：9-11，25.

基金项目：陕西本科和高等继续教育教学改革研究项目“推进产教融合，创新实践教学——应用型统计分析与量化决策人才培养的探索与实践”（21ZY013）；榆林市软件工程技术研究中心建设项目 “糊聚类分析算法在榆林市政务、智慧监察大数据平台构建的应用研究”（CXY-2020-007）；榆林学院2021年课程思政教学团队示范项目“高等数学”（KCSZ04）

第一作者简介：李晓焱（1984-），女，汉族，陕西榆林人，硕士，副教授。研究方向为几何函数论。