建构深度教学 凸显核心素养*
——以直角三角形的性质定理为例

⦿ 福建省福州市福清虞阳中学 黄庆福

⦿ 福建省福州市福清市梧岗初级中学 郑 林

教育部印发的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中明确提出全面深化课程改革以及核心素养在各学科间落地开花的要求.在数学学科中,核心素养更多的是指以数学为工具解决实际问题的能力.这种能力的提高可以通过深度教学来实现.所谓深度教学,就是对知识进行深层剖析,了解知识间的纵横交错,提高思维的深度和广度,同时带动具体思维向逻辑思维的纵深发展.

深度教与学的落实,需要教师带领学生建构完整的知识体系,激发学生的逻辑思维,将所学知识灵活运用到解题过程中.本文中以直角三角形的性质定理为例,阐述如何在课堂上基于核心素养视角重新审视知识,构建深度的教与学.

1 问题引领,深度课堂

1.1 教学有疑,疑则有进

人教版教材中关于直角三角形斜边上中线的性质定理安排在八年级下册“18.2.1矩形”中.在讲解完矩形的性质之后,提出问题:如图1,在矩形ABCD中,观察Rt△ABC,BO是斜边AC上的中线,BO与AC有什么关系[1]?

图1

教材中这样安排新定理的生成是基于矩形的四个角均为直角,因此自然想到借助矩形研究直角三角形中的问题.如此安排虽利于知识生成但不利于知识发展,且不利于学生思维能力的培养,无法激发学生的求知欲.

1.2 知识的问题化

本文中在深入探究该定理教学的同时,结合可以关联的知识,引导学生构建数学知识的整个脉络图,学会用联系的思维看知识,用发展的眼光看数学.学生经历以上过程,进而对所学知识做到真正理解,并逐步构建数学知识框架和体系.

问题求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

已知:如图2,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是斜边AC的中点,连接BD.

图2

问题1猜测BD与AC之间有什么数量关系?

问题2能通过折线来验证你的猜想吗?

学生经过思考和交流,利用图3的折叠方法,可验证猜想.

图3

2 多向思维,助力推理

上述问题打开了深度教学的大门,而测量和折纸降低了进入的门槛,让学生“触手可得”.另外,折纸还蕴含着轴对称的特性,教师引导学生关注知识的内涵,从而获得多角度的论证方法.

证法一：论证角度——建构矩形模型.

证明：如图4,延长BD至点E,使ED=DB,连接CE,AE.

图4

∵D为AC的中点,

∴AD=CD.

∵BD=DE,

∴四边形ABCE为平行四边形.

∵∠ABC=90°,

∴四边形ABCE为矩形.

∴AC=BE.

证法二：论证角度——建构等角对等边.

证明：如图5,在∠ABC的内部作∠MBC=∠C,BM与AC交于点M.

图5

∵∠MBC=∠C,

∴MB=MC.

∵∠ABC=90°,

∴∠A+∠C=90°,

∠ABM+∠MBC=90°.

∴∠A=∠ABM.

∴AM=BM.

∴AM=MC=BM.

又BD是斜边AC上的中线,即BD与BM重合.

证法三：论证角度——建构三角形中位线,引出中垂线.

证明：如图6,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,分别取AB,BC的中点G,H,连结DG,DH.

图6

∵AD=DC,AG=GB,

∴DG∥BC.

∵∠ABC=90°,

∴∠AGD=∠ABC=90°.

∴DG⊥AB.

又AG=BG,

∴BD=AD.

同理BD=CD.

∴AD=BD=CD.

证法四：论证角度——建构三角形全等.

证明：如图7,延长BD至点E,使BD=DE,连接EC.

图7

易证△ADB≌△CDE(SAS).

∴∠A=∠1,AB=CE.

∴AB∥EC.

∴∠ABC+∠BCE=180°.

∵∠ABC=90°,

∴∠BCE=90°.

易证△ABC≌△ECB(SAS).

∴AC=BE.

证法五：论证角度——构造中垂线以及联想等角对等边.

证明：如图8,作AB的垂直平分线ME,垂足为E,交AC于点M.连接BM,则AM=BM.

图8

∴∠1=∠A.

∵∠ABC=90°,

∴∠3+∠1=90°,

∠2+∠A=90°.

∴∠3=∠2.

∴CM=BM.

∵AM=BM,

∴CM=AM.

即M为AC的中点.

又D为AC的中点,

∴点M与点D重合.

∴BD=AD=CD.

证法六：论证角度——由中点联想中位线.

证明：如图9,延长CB至点E,使BE=BC,连接AE.则B为EC的中点.

图9

∵D为AC的中点,

∴BD为△ACE的一条中位线.

∵∠ABC=90°,

∴AB⊥BC.

∵BE=BC,

∴AE=AC.

3 逆向思维,合作探究

在进行命题的学习时,探究逆命题的过程能让深度教学内容更丰富,并能提升学生的推理能力[2].通过逆命题的证明,培养学生的逆向思维能力,同时又将知识迁移到“命题、定理、证明”这一课时中,增加了知识的层次.

问题3“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题的题设和结论分别是什么?

问题4这个逆命题是否成立?说明理由.

4 应用新知,固化认识

例题如图10,已知等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形BDF,∠BAC=∠BDF=90°,E是线段CF的中点.

图10

(1)如图10,当点B,C,D在同一直线上时,猜想线段AE与DE的数量关系和位置关系,并证明;

(2)如图11、图12,当点B,C,D不在同一直线上,且等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形BDF在BC的同侧或异侧时,探究线段AE与DE的数量关系和位置关系;

图11

图12

本题第(1)问直接运用本节所学的直角三角形的性质定理.在Rt△AFC与Rt△DFC中你能得到什么结论?第(2)问显然不存在Rt△AFC与Rt△DFC,但是以上三个图形中都存在等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形BDF.等腰三角形有一个“三线合一”的重要性质,教师结合本节所学的直角三角形的性质定理,引导学生添加辅助线解决第(1)问.

如图13,分别取BF与BC的中点N与M,连接DN,NE,ME,AM.进一步引导学生观察图形,找出三角形的中位线,则可证△AME≌△END(SAS)且AM⊥NE,因此可证DE=AE且DE⊥AE.

图13

接下来,引导学生关注图形的运动变化过程中不变的量,将第(1)问添加辅助线的思路迁移到图11与图12中,鼓励学生大胆尝试,画图验证,得到图14与图15.

图14

图15

此题的变式训练,能让学生的思维得到进一步拓展,同时明确某些证明题的设计理念,即对题目的条件或基本图形进行变换.

5 深度教与学的走向:传递知识,更传递智慧

5.1 有一种教学叫:触类旁通

作为课堂的组织者,我们要站在一定的高度来看待知识,领会教材编者的意图,不断改进教材教法,遵循吃透教材—改编教材—拓展教材这一过程,学会用联系的观点来看待教材,挑选典型例题,分析通法通性.让学生学会融会贯通.

5.2 有一种学习叫:深入浅出

教师在备课时要多花时间思考“如何实现知识的深入和教法的浅出”.课堂上我们不能“装高深”,应该“接地气”,用学生熟悉的已知情境、事物和知识来牵引.教师每抛出一个问题,都要从最简单的角度入手,步步深入,从特殊到一般.

5.3 有一种智慧叫:大道至简

深度教与学中,教师要做的是基于教材本身,选取适当素材,课堂上重视探究过程.常言道:经历过程比结论更重要,知识可以在探索过程中生根发芽;大道至简,知易行难.

6 是结尾也是开端

数学深度教与学是一个双向过程,也是一个双赢的结局.深度教与学作为培养学生核心素养的重要途径,还需要我们在实践中继续丰富和探索.深度教与学帮助学生成为可持续发展的人才,让学生在今后的学习、生活和工作中能用数学的眼光来看待世界,用数学的思维来解决问题,从而达成目标,实现自我价值.