基于“三会”的“后建构”课堂教学实践研究*
——以“二次函数图象背景下线段的最值问题”专题复习为例

⦿ 无锡市东绛实验学校 毛巾钧 薛 莺

1 引言

《义务教育数学课程标准(2022年版)》提出,数学课程要培养的学生核心素养主要包括三个方面,即会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界(以下简称“三会”).“后建构”课堂教学,是指在建构主义和后结构主义指导下,在新知教学结束后,解构学生已有的知识,使之被学生重新认知和接受,并在新的认知情境下进行重组和再构,形成新的认知结构,建构更为完整的知识结构、技能结构、思维结构和素养结构的课堂教学.

笔者以一节市级公开课“二次函数图象背景下线段的最值问题”专题复习为例,探究基于“三会”的“后建构”课堂教学模式,以“四基”“四能”为具体目标,借助几何直观抽象研究对象,借助逻辑运算推理规律联系,促进学生数学高阶思维的发展.

2 课堂实录

2.1 开门见山,引入课题

师:如图1,这是一条什么曲线?

图1

生:抛物线.

师:它是我们学过的哪种函数的图象?

生:二次函数的图象.

师:我们都知道,线由无数个点构成,如图1,在抛物线上任取一点,该点在抛物线上运动的过程中,会产生一些特殊的结论,比如,该点运动到图象的最高处时,如何?

生:函数值最大.

师:此类最值问题我们在二次函数图象与性质的研究中已经解决.我们研究问题往往遵循从简单到复杂、从单一到多个、从特殊到一般的原则.如果动点个数从一个增加到两个,位置从特殊到一般,那么两个动点构成的线段长度是否存在最值?

师:我们以前也研究过线段的最值问题,即线段的两个端点一定一动时,是如何解决的?

生:看动点的运动轨迹.如果轨迹是直线,那么利用垂线段最短就可解决;如果轨迹是圆弧,那么利用两点之间线段最短即可解决.

师:回答得很好.那么如果两个端点都是动点,该如何解决呢?

生:两个动点的轨迹分别是什么呢?

师:好问题,下面请我们一起来研究一个动点在抛物线上,另一个动点在直线上,构成的线段的最值问题.

2.2 点线到面,探索新知

【一个点】

问题1如图2,请在x轴上方抛物线上找一点,使它到x轴的距离最大?最大值为多少?

图2

(小组讨论,分组发言,生生互动.)

师:回顾解决此问题的过程,你是如何得到这个点的?

生:观察,看出来的.

师小结:通过几何直观,同学们找到了二次函数图象上的最高点到x轴的距离最大.问题1是研究一个点到一条直线的距离的最值,本质上是研究两个动点(一个点在抛物线上,一个点在直线上)形成的线段的最值问题.几何直观帮助我们确定了数学研究对象,也初步让我们体会到“当点在某些特殊位置时,线段可能产生最值”.

【两个点】

问题2如图3,连接BC,P为直线BC上方抛物线上一动点,过点P作PH平行于y轴,交直线BC于点H,求线段PH的最大值.

图3

出示问题2后,学生根据条件独立思考.

师:能用解决问题1的方法来解决这个问题吗?请大家试试看.

生:可能当点P在顶点处时,PH最大.

师:看来很多同学有不同意见,几何直观不是那么容易确定了,怎么办呢?

生:要证明.

师:很好,这就是我们比较熟悉的逻辑推理.不管是否在顶点处取得最大值,都需要说理,数学得有理有据,这就是数学的严谨性.

生:如果不在特殊位置,那么怎么确定点P在何处PH最大?

师:推理只有几何才有吗?别忘了,函数本就体现了数学中的一个非常重要的数学思想——数形结合,即代数与几何的结合,同学们何不试试代数推理呢?

生:点可以用坐标来表示,那么线段长度也可以用代数方法来表示.

师:联想得非常好!请同学们按照此思路一起试试吧.

…………

师小结:问题2与问题1本质上是一样的,都为两个动点(一个点在抛物线上,一个点在直线上)形成的线段最值问题.不同之处在于,问题1借助几何直观就容易解决,而问题2用坐标来刻画点,用代数式来表示线段的长,然后运用求二次函数最值的方法来解决,这就是运用代数运算进行逻辑推理.类比问题2,你能改变条件“PH平行于y轴”,其余条件不变,提出一个有关线段最大值的问题吗?并尝试解决.

变式1如图4,连接BC,P为直线BC上方抛物线上一动点,过点P作PG⊥BC,垂足为G,求线段PG的最大值.

图4

变式2如图5,连接BC,P为直线BC上方抛物线上一动点,过点P作PT平行于x轴,交直线BC于点T,求线段PT的最大值.

图5

变式3如图6,连接BC,AC,P为直线BC上方抛物线上一动点,过点P作PM∥AC,交直线BC于点M,求线段PM的最大值.

图6

师:我们解决问题往往遵循从简单到复杂的原则,遇到新问题时先想想,是否有解决此类问题的经验可以借鉴,或者是否可以将新问题转化为已经解决的问题……

师小结:通过转化很容易解决这三个变式问题,即运用代数运算和逻辑推理找到线段PG,PT,PM与线段PH之间的关系,将所有问题都转化为求线段PH的最值问题.当然,类比思想也是很重要的数学思想方法,通过这三个变式问题的类比提问和转化解决,更能感受到数学的妙不可言.

【三个点】

问题3如图7,P为直线BC上方抛物线上一动点,你能提出一个与三角形有关的最值问题吗?并尝试解决.

图7

…………

师:同学们提的问题都很不错,课后可以进一步研究.现在我们以求解△PBC面积的最大值为例,探求解决问题的方法.

生齐答:转化为求线段PH的最大值.

师小结:很好,同学们已经学会了转化这一方法,线段PH的最值就是解决今天一系列问题的数学模型,运用这一模型可以解决很多类似的问题.

2.3 回顾总结,建构结构

师生共同完善结构图,厘清脉络,建构结构,如图8.

求线段最值

师:回顾本节课所学,你有哪些体会?

生:本节课研究的很多问题都可以转化求线段PH的最值问题.

师:是的,这就是数学模型的好处,可以用它解决一些未知问题.对于本节课的结构图,有什么体会吗?

生:通过结构图明确了求线段最值的方法和本节课所涉及的数学思想.

师小结:很好,这既是知识结构,也是方法结构,也蕴含了思想结构.通过本节课的学习,也扩充了线段最值的求解方法,同学们要及时整理、归纳、总结、完善自己原有的知识方法等,形成新的方法结构体系,以更快速地解决后续问题.

3 基于“三会”核心素养的教学模式

3.1 会用数学的眼光观察现实世界——借助几何直观抽象研究对象

会用数学的眼光观察现实世界就是通过对基本数量关系与空间形式的观察,学生能够直观理解所学的数学知识,发现基本的数学研究对象及其所表达的事物之间的简单联系与规律.本节课的定位是专题复习课,属于后建构课型之一.本节课的内容选择了二次函数图象背景下线段的最值问题,将线段的最值问题转化为点的位置的直观变化或点的坐标的数量变化,实则函数图象上点的位置的“直观变化”与由函数表达式确定的“数量变化”为内在的对应关系.明确此研究方向之后,从点入手,通过几何直观抽象出具体的数学研究对象,即研究点在抛物线上运动时产生的线段的最值.在课堂引入环节和“一个点”的研究中,借助几何直观确定当点在某些特殊位置时能够确定线段的最值,引出本节课的研究对象——二次函数图象背景下线段的最值问题,落实了会用数学的眼光观察世界.

3.2 会用数学的思维思考现实世界——借助逻辑运算推理规律联系

运算作为数学的一种基本功,是义务教育阶段的核心内容.教学中要帮助学生感悟代数运算中的数学思想,如数轴、平面直角坐标系中的数形结合思想等.本节课中问题2“两个点”的设计与解决过程,形式上与问题1“一个点”一脉相承,作为本节课的重难点,旨在引导学生运用逻辑推理和代数运算进行演绎推理,在此基础上寻找事物之间的规律和联系,即会用数学的思维思考现实世界.从合情推理出发到演绎推理证明,从代数运算求解到逻辑推理转化,都是“思考”的体现,数学的思维正是体现于此.后建构课堂教学,以变式问题为抓手,以思维的拓宽为表现,层层深入,打破常规思维的边界,重组并建立新的方法结构和思维结构,真正达到“后”建构之效,发展学生的“四基”和“四能”,从而进一步发展数学核心素养.

3.3 会用数学的语言表达现实世界——借助数学模型解释解决未知问题

数学语言由数学的基本概念、符号表达、运算规则、形式逻辑、模型构建等基本元素组成.数学语言主要是通过数学模型来呈现,同时借助数学符号也可以帮助学生更好地理解和构建数学模型,从而揭示数学的性质、关系和规律.本节课的问题3“三个点”的问题,主要研究由三个点形成的三角形的周长或面积的最值.以开放式的问题展开,借助已学知识方法以及数学活动经验等,进一步发展学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.会用数学的语言表达现实世界,即充分运用已有数学模型解决未知问题,数学模型是数学语言的关键体现.后建构课堂教学的总结环节尤为重要,以知识结构、方法结构、思想结构为显性结构进行呈现,素养结构为隐形结构包含其中,这一结构图随着课堂进度的推进逐步完成并完善,伴随着方法的优化整合、思想的深入体会以及素养的逐步提升.运用数学语言表达现实世界,即借助数学模型解释解决未知问题,让核心素养真正落地呈现.