弱测量对复杂噪声通道下三量子比特系统量子纠缠行为的影响

李文娟,王 琼

(1.长沙师范学院 初等教育学院,湖南 长沙 410100; 2.湖南省教育科学研究院,湖南 长沙 410005)

0 引言

量子纠缠作为量子通信和量子计算的载体,被广泛应用于量子隐形传态[1]、量子密集编码、量子信息和量子计算等领域.在真实环境中,独立的量子系统是不存在的,当量子系统与环境耦合时会产生退相干导致纠缠下降.因此,如何克服外界环境对量子系统产生的退相干影响,是学者们关注的热点课题.现有的纠缠保护方法有量子反馈控制[2],量子Zeno效应[3],量子纠错码[4]、动力学退耦合方法[5]、量子弱测量[6]等.量子弱测量这一抑制量子系统退相干的方法最先由Aharonov等人提出,实验上弱测量可以通过一个探测器探测一个二能级固体系统[7]、线性光学系统[8]或超导相位比特来实现.相对于量子反馈控制、量子Zeno效应等方法,量子弱测量在实验上具备容易实现且操作便捷等优点.

近年来,Katz等[9]发现弱测量和反弱测量可以使一个超导相位量子态在受到振幅耗散退相干作用时得到概率性的恢复.Kim等[10]利用量子弱测量和反弱测量在一个振幅耗散通道中来抑制由于退相干引起的退纠缠,他们发现该方法可以避免纠缠猝死现象的发生.Man等[11]系统地研究了两Qubits系统分别在各自独立环境与共同环境相互作用模型下,利用量子弱测量和反弱测量来保护纠缠的方案.他们发现了能使纠缠量最优化的条件,完善了Kim的计算结果.近期,Liao等[12]和Yang等[13]将弱测量方案推广至不同的三体两能级系统,发现量子弱测量和反弱测量可以帮助三个量子比特系统抵抗振幅阻尼通道的干扰,提高这些三比特量子系统的保真度.黄江[14]则研究了几种典型四量子比特量子态在振幅阻尼通道作用下的纠缠演化行为,发现弱测量方法能够有效地提高四量子比特纠缠态的保真度.不难看出,在振幅阻尼通道影响时,弱测量对比特系统纠缠态的保护作用可以从单量子比特系统推广至多比特量子系统.

与单量子态和两量子纠缠态相比,多比特纠缠态在量子通信和量子计算中显示出更加卓越的效果.Zhao等[15]和Kempe[16]已经分别证明Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)态是实现量子隐形传态的优良通道.Wang等[17]也证明W态是量子安全通信的优良通道.虽然众多学者已经证明了弱测量可以保护多比特系统的纠缠态抵抗振幅阻尼通道的干扰[9-14].由于真实环境的复杂性,除了振幅阻尼通道外,还存在相位阻尼通道、退极化阻尼通道等.Li等[18]已经证明弱测量对经历多种复杂通道时的单比特、两比特系统的量子纠缠有保护作用.为了深入研究复杂噪声环境下弱测量对多比特量子系统纠缠态的保护作用,本文在以上工作的基础上,研究了三比特系统在相位阻尼通道和退极化阻尼通道影响下的弱测量方案.通过引入保真度,对比弱测量作用前后的纠缠情况,得到了三体二能级系统的保真度分别在相位和退极化阻尼通道作用下不能被弱测量保护的结论.

1 基础理论

本文的核心思想是研究弱测量和反弱测量对三量子比特系统在相位与退极化阻尼通道作用下纠缠行为的影响.我们将三个量子比特分别命名为A、B、C.如图1所示,实验操作方案分为以下3个步骤:1) 在初始制备的三比特量子态上执行弱测量操作,激发态将概率性地跃迁至基态; 2) 将弱测量作用后的量子态通过相位阻尼通道或退极化阻尼通道,三比特系统的量子纠缠将减少; 3) 再对此量子态进行反弱测量操作,以一定的概率将量子态恢复至初态.

图1 三量子比特纠缠保护的实验方案图

1.1 相位阻尼

相位阻尼是纯粹量子力学性质的噪声过程,可描述在没有能量损失条件下量子信息的丢失,对应的Kraus算符是:

(1)

在Born-Markov近似下,可以用Kraus算符来实现三量子比特的演化过程

(2)

1.2 退极化阻尼

退极化阻尼通道表示经过该通道后,系统倾向于没有极化的完全混合态,对应的Kraus算符是:

(3)

1.3 弱测量和反弱测量

三个量子比特的弱测量过程和反弱测量过程[15-17]可分别表示为

(4)

(5)

这里,Mwk(p1,p2,p3)为弱测量算符,p1,p2,p3分别是A、B、C三个比特的弱测量强度;Mrev(q1,q2,q3)为反弱测量算符,q1,q2,q3分别是三个比特的反弱测量强度.由于量子弱测量和反弱测量算符是非幺正算符,这样执行量子弱测量和反弱测量成功的概率必然会小于1,所以量子弱测量和反弱测量方法是一种概率性的方法.在物理机制上,同时使用量子弱测量和反弱测量可以有效抑制振幅耗散退相干的原因是[11-17]:1) 执行弱测量的作用是先降低激发态的权重,这样当遇到振幅耗散退相干环境时系统将少受其影响; 2) 执行量子反弱测量的作用是当系统同振幅耗散退相干环境作用后重新恢复激发态的权重.这样二者同时使用就可以更有效地抑制振幅耗散退相干效应.鉴于量子弱测量方法在振幅阻尼通道下对两比特、三比特及多比特系统纠缠成功实施保护的研究经验,本文将重点研究该方法在相位阻尼及退极化阻尼通道下对三比特系统纠缠保护工作的有效性.为了计算方便,本文在计算过程中假设三个量子比特全是相同的,即p1=p2=p3=p,q1=q2=q3=q.

1.4 保真度

保真度是量子信息科学中的一个重要物理量,表征整个信息传输后所得到的量子态和输入态之间的相似度.对于初始态为|ψ0〉的系统,引入保真度的概念[19]:

F=〈ψ0|ρout|ψ0〉

(6)

其中,F=[0,1],ρout=|ψout〉〈ψout|表示相互作用后的量子态密度矩阵.保真度的值越大,表示系统的量子态保持越完整.反之,则表示系统的量子态衰减较为严重.

2 理论与数值分析

2.1 弱测量对相位阻尼通道作用下三比特量子系统纠缠的影响

2.1.1 Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)态

(7)

从式(7)容易发现,在没有弱测量保护操作的情况下,当遭遇相位阻尼通道影响时,随着阻尼强度λ的增加,三比特系统GHZ态的保真度越来越小.

(8)

(9)

2.1.2W态

(10)

从式(10)可发现,当仅通过相位噪声通道时,随着阻尼强度λ的增加,三比特系统W态的保真度会越来越小.

(11)

(12)

图2 在相位阻尼通道影响时,三量子比特W态的最优保真度随通道强度λ和弱测量强度p的变化关系

2.2 弱测量对退极化阻尼通道作用下三比特量子系统纠缠的影响

2.2.1 GHZ态

(13)

从式(13)容易发现,在没有弱测量保护操作的情况下,随着退极化阻尼强度λ的增加,三比特系统GHZ态的保真度越来越小.

图3 在退极化阻尼通道影响时,三量子比特GHZ态最优保真度随通道强度λ和弱测量强度p的变化关系,此时反弱测量强度为

2.2.2W态

(14)

从式(14)容易发现,在没有弱测量保护操作的情况下,随着退极化阻尼强度λ的增加,三比特系统W态的保真度越来越小.

图4 在退极化阻尼通道影响时,三量子比特W态最优保真度随通道强度λ和弱测量强度p的变化关系,此时反弱测量强度为

3 结论

以弱测量与反弱测量方案对三量子比特系统的纠缠保护作用进行了系统研究.结果表明,不论是三比特系统的GHZ态,还是W态,在没有加入弱测量与反弱测量操作时,系统的纠缠保真度分别随着相位阻尼通道、退极化阻尼通道强度的增加而减小.当加入弱测量与反弱测量保护方案后,依然发现上述三比特系统的纠缠不仅随着噪声通道强度的增加而减小;同时系统的纠缠不会随着弱测量强度的增加而增加.研究结果说明在经历相位阻尼通道与退极化阻尼通道影响时,弱测量方法对三比特系统的纠缠起不到任何保护作用.虽然,弱测量方法已经被证明可以保护单比特系统、二比特系统在相位阻尼通道、退极化阻尼通道影响下的纠缠行为.但结合本文的研究结果,发现在经历相位阻尼、退极化阻尼等复杂噪声通道时,弱测量对比特系统纠缠的保护效果不能简单地由单比特系统扩展至多比特系统,该结果对多体量子系统的研究具有一定的指导意义.