高三复习课微单元设计与教学思考
——以“利用导数研究函数的零点问题”为例

靖 晶 陈艳宝

(大庆市第四中学,黑龙江 大庆 163711)

为了进一步提升学生的核心素养,促进学生对数学知识及思想方法的深度理解、建构知识及灵活运用,笔者尝试开展“利用导数研究函数的零点问题”的微单元教学设计,内容以高考题为载体,尝试开展教学实践.

1 必备知识

1.1 函数的零点

对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数的零点.

1.2 与函数零点有关的等价关系

方程f(x)=0有实数根⟺函数y=f(x)的图象与x轴有交点⟺y=f(x)有零点.

1.3 函数的零点存在性定理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

已知零点个数求参数范围的常用方法:①直接解方程②数形结合③借助导数工具及零点存在性定理.

2 教学过程设计

2.1 课前自主学习,诊断问题

进入高三阶段,学生已经具备一定的学科知识及关键能力,但是由于有所遗忘,知识呈碎片状.课前自主学习的形式诊断问题,梳理知识点,在掌握知识的同时学会数学思考方式,可以提升认知力及思维能力.

(1)(2019全国)函数f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零点个数为.(直接法)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)(考查零点存在性定理)

(3)(2022·全国)已知函数f(x)=x3-x+1,则( ).

A.f(x)有两个极值点

B.f(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线

(考查借助导数工具研究函数图象,数形结合解决问题)

2.2 典例剖析,引申拓展

例1(2022乙卷16)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1

思路探求:函数的极值点就是相应函数的导数的零点,故可转化为研究导函数的零点问题.

图1 例1题图

当a>1时,f′(x)在(-∞,x0)单调递减,(x0,+∞)单调递增,此时x=x1为极大值点,不符题意.

方法点睛利用导数研究函数的单调性,根据参数的特点,确定分类讨论的标准.在每一类情况中确定函数的极值、最值、单调性、特殊点等,画出大致的函数图象,讨论其图象与x轴的位置关系,先形后数,求出参数取值范围.

方法2(同构+分离变量)由法1知,当a>1时,不符题意.

方法点睛通过分离变量,可将参数与变量分离开来,转化为研究一个具体函数的图象与直线交点的问题,避免了对参数的范围的讨论.本题对学生对于运算对象的理解有了更深层次的要求,需要结合运算对象的特点,恰当的变形后,转化为研究具体函数的图象问题.

方法3(转化为研究两个函数图象的交点问题)

方法点睛利用数形结合求解零点问题,基本策略是“一静一动、一直一曲”,当一直一曲时,极限位置为相切的位置;若为两曲线,往往是凹凸性相反的两曲线,极限位置是公切线.

2.3 问题延伸,拓展思维深度

思路探求考查学生分类讨论思想,转化与化归能力及推理论证能力.难点一:确定分类讨论的标准;难点二:在讨论零点个数时,要结合零点存在性定理严密论证函数在相应区间上的零点个数,“找点”是学生的难点.故在研究前设计问题串如下,启发学生思考如何“找点”.具体解答过程为:

方法点睛对于“找点”,在教学中培养学生有将指数、对数等放缩成低次、高次多项式的意识,有利用常用不等式进行放缩的意识.对于有困难的学生,可用极限的思维代替找点的思维.

评注利用导数研究函数的零点问题在解答题中往往是压轴题,考查学生的综合素养,具有很强的选拔功能.需根据式子结构特点先确定分类讨论的标准,确定参数的取值范围.在严密的推理论证中,往往找点成为难点,由于对学生的能力要求较高,在平时的教学中,有意识地培养学生观察、思考,可通过设计问题串的形式引导,不断提升学生的迁移能力,在不断完善的数学知识结构中理解数学、领悟数学,形成规范化思考问题的品质.

3 高三复习微单元设计的教学思考

3.1 重视教材,充分挖掘教材

高考的考查方向既有对基础知识、基本技能的考查,又有对基本思想和基本活动经验的考查.在教学中,要在课程标准的基础上,结合教材的例题、习题进行适当的延伸.题在书外,理在书中.在组织复习课的教学中,科学、合理地调整呈现的次序,增加启发的环节,引导学生学会联系题目的信息和自己所学的数学知识探索解题的思路,进行解题的尝试,不断反思与总结,积累数学活动经验[1].

3.2 注重一题多解,从不同角度提升核心素养

通过例1的多种解法,从不同的角度入手,殊途同归,都圆满地解决了问题.既引导了学生善于从不同的角度深入研究,积累数学的活动经验,又从不同的解法中提升了学生的核心素养.通过一道题学会一类题,才能达到“授之以渔”的目的.在选择例题时应抓住主干知识以及学生学习特定内容的薄弱点,尽量选取能够拓展解题方法的例题,可以向学生展示不同的解题方法,举一反三,触类旁通,提升核心素养,也可对例题进行适当的改编以达到上述目的.

3.3 经历数学学习过程,培养核心素养

核心素养的提升并不是一蹴而就的,而是在学生经历了直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算后,逐步内化形成的[2].故在高三的微单元复习中,要放手让学生去深度地思考与体验,可以引导学生开展合作交流、反思质疑等活动,对问题进行深入剖析,揭示知识的内涵与本质,有效提升学生的核心素养.

3.4 强化数学探究反思,提升理性思维

随着我国课程改革的不断深入,数学教育已从传统的“学生本位”向“学科本位”课程观跨越,提倡自主学习、深度学习,培养学生学习的主动性、创造性、批判性及反思性.在高三的微单元的复习课中,可以通过精心的教学设计,引导学生进行自主的、深度的探究学习,既强化了学生基本活动经验的积累,提高了学生严密推理论证的能力,也进一步提升了学生的综合素养.