高中数学课堂教学优化策略探究
——以人教版必修第一册“对数函数的图像与性质”为例

卢 芳

(南京航空航天大学苏州附属中学,江苏 苏州 215000)

在以核心素养为导向的新一轮课程改革背景下,对高中数学教学提出了更高标准的要求,不仅需要教师在数学教学中传授学科知识,还应培养学生形成数学思想,掌握数学学习的有效方法,促进学生形成关键能力与必备品质.在这种的教学要求之下,传统的教学方式已经难以满足高中生的数学学习与发展需求,需要教师探索数学教学方法的优化之路.“对数函数的图像与性质”是高中数学教学中十分重要的内容,在教学策略的优化中教师可以通过类比学习、设计问题串、数形结合等途径,帮助高中生突破数学学习的难关,提升数学教学质量.

1 类比学习,降低教学难度

数学知识之间或多或少都具有一定的联系,且在学习方法上也会具有一定的通性.这些已经存在的联系是学生学习新知识的有利因素,教师在教学过程中应该努力让学生感知到知识之间的相关性,通过类比学习的方法,来引导学生形成一种比较完整且有效的学习思维,这样也能降低学生学习新知识的难度,提高课堂教学效率.

2 设计问题串,进行知识串联

设计问题串这一教学方法有利于学生对知识的循序渐进地吸收,让学生在问题的引导下对知识由浅及深的进行认识,避免在学生对知识还不够熟悉的情况下就跨难度层次去理解知识,这样学生会产生畏难心理,对知识也无法有一个更加全面的认识[1].同时教师在设计问题串时要注意问题的衔接与知识之间的联系性.

3 数形结合,培养数学技能

对于涉及到图像学习的知识时,教师要善于联系图像的使用让学生在解决问题的过程中训练自身的数形结合能力,这既是培养学生对图像使用的熟练性,让学生能够借用图像的辅助来解决问题,同时又是对学生数学能力的提高,让学生能够在解题工具的使用中得心应手[2].

4 教案设计

接下来以高中数学人教A版必修一“对数函数的图像与性质”为例,设计合理的教学步骤,体会教学方法在课堂教学中的重要性:

教材分析对数函数作为基本初等函数中较为重要的一类函数,对学生以后的函数学习能够起到极大的辅助作用.对数函数的图像与性质这一节内容要求学生在学习对数的概念以及对数的运算法则之后,能够进一步掌握对数函数的图像、定义以及如何将这些定义性质运用到实际问题的解决过程当中.同时作为高中阶段基本初等函数中的一类分支,对于对数函数的学习,教师也可以设计出一套适用于其它函数教学的教学方案,通过类比教学法来将函数板块衔接,有利于学生对函数整体学习的把握.

教学目标【知识与技能目标】

(1)学生在学习函数图像与性质之前要理解对数函数的定义,深刻认识对数函数的本质;

(2)联系前一章节学过的指数函数内容,能够通过对对数函数的学习回顾指数函数的性质,熟悉这两个函数在增长率上的差异,并能够理解这两个函数互为反函数.

【过程与方法目标】

(1)在对数函数问题进行讨论的过程中,学生能够熟悉函数问题解答的思路,提高自身在函数问题学习上的学习素养;

(2)针对问题思考时强化学生由特殊问题转到一般问题的学习思想,充分训练学生在思考问题时的转化和化归思想.

【情感态度与价值观目标】

(1)让学生在学习对数函数知识的过程中能够感受到对数函数的魅力,体会到函数在我们生活中的重要性;

(2)通过感受对数函数、指数函数等不同函数在增长率上的差异体会函数的多元性.

教学重难点教学重点是理解对数函数的定义与性质,并能够将其运用到实际问题当中;教学难点是让学生理解将指数函数与对数函数联系起来进行类比学习,并理解对数函数和指数函数是互为反函数的关系.

教学过程【问题引入,理解定义】

在引导学生学习对数函数的图形以及性质之前,教师可以设计一系列的问题串让学生逐步进入到对数函数的学习情境中来.值得注意的是,对数函数前一节学生已经学习过关于指数函数的知识,教师应该借用学生对指数函数知识的熟悉性,将对数函数与指数函数的知识进行联系,通过对以往知识的掌握来熟悉新的知识.

问题1什么是指数函数?指数函数在图像上有什么特点,具有什么样的性质?

结论1一般来说,形如y=ax的函数为指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞);它在图像上会经过y轴的(0,1)点,即当自变量x为0时,函数的值为1;指数函数的增减性质取决于a的值,当a大于1时,指数函数在整个定义域上都是增函数;当a大于0小于1时,它在定义域上为减函数.

问题2 指数函数是函数的一个分支,那么函数的本质和意义又是什么?

结论2函数在一定意义上就是两个非空数集之间的对应关系,即在一个集合中取一个数,那么在另一个集合中也能找到一个数与之相对应,与之对应的数也是唯一的.那么,对于这个对应关系以及这两个集合,我们就可以用函数、定义域以及值域来定义.

问题3指数函数的形式是y=ax,此时y是关于x的函数,那么反过来,x能成为y的函数吗?

结论3通过对图像的分析可知,指数函数中每一个x都有一个唯一y值与之相对应,每一个y值也有唯一的x值相对应,那么x与y之间的对应关系不只有y=ax,还有x=logay.在通常的函数中,我们将x作为比变量,y作为函数值,那么这个形式也可以变为y=logax,这就是所谓的对数函数.

设计意图:通过学生学过的指数函数定义与图像性质,让学生以类比反推的形式理解对数函数,并掌握对数函数的一些基本性质.这样有利于加深学生对于函数本身定义的理解,同时也有助于学生对函数的学习形成一个系统完整的思维,这样学生在以后的学习中也能够以此类推,掌握到数学学习方法的本质.

【探究差异,发现性质】对数函数的计算有点复杂,高中阶段只需要学生记住几个基础对数函数的值即可,但是学生仍然应该掌握关于对数函数大小的比较,通过比较大小得出对数函数的性质.教师可以设计对数大小的比较,比如log0.54与log0.58的大小比较;log24和log28的大小比较;除了查表、计算器等解答方法,学生是否还能找到其它方法来解决?

【图像法】针对上述问题,教师可以引导学生利用绘制对数函数的图像来进行解答.在解决问题的过程中,学生应该考虑到第一组对数和第二组对数的a值是相同的,但是第一组的a值小于1,第二组的a值大于1,因此教师可以先引导学生将a取不同值是的对数函数图像画出来,然后联系图形来比较大小:

图1 对数函数

由图像可知,当a大于0小于1时,对数函数在整个定义域内为减函数,也就是说这个条件下x的值越大,y的值越小;而当a大于1时,情况恰恰相反,因此对于上述两组对数大小的比较,其结果是:log0.54>log0.58;log24

设计意图:这一环节利用对数大小的比较来引导学生探究解决问题的方法,通过图像法的应用不但让学生对对数函数的图像有了一个比较基本的认识,同时还训练了学生数形结合解决问题的能力.且在这个过程中,学生会思考不同的a值对对数函数值的影响,教师可以适当引导学生思考指数函数a值不同时不同自变量对应的函数值大小,让学生以类似的方法去划分a值,探究a值不同时对数函数值的大小.

【巩固知识,灵活应用】在学生对对数函数的图像以及性质有了一定的了解之后,教师要趁热打铁,通过一系列的实际问题来巩固学生对这些性质的掌握程度.在设计问题时,教师要尽可能考虑到不同的性质,比如对数函数的判断题,这一类题型可以考查学生对于对数函数公式以及基本定义的掌握;再比如采用x值不同、a值也不同的几组对数让学生来比较大小,考验学生是否能够通过不同a值对数之间的转化,将其转化为a值相同的情况下再来比较大小的能力,或者也可以让学生引用图像法给出一个大致的值域区间,通过比较区间的大小来进行对数值的比较.

设计意图:这一环节主要是针对学生所学知识的考查,让学生能够在不同的题型当中体会到其中暗含的对数性质[3].这样学生不仅可以熟悉题型,积累自己的解题经验,还能够将自身对性质的学习转化为实际的解题能力,提高自身的数学技能.

总的来说,如何把握基本初等函数的图像与性质并运用这些性质解决复合函数问题作为学生在高中阶段应该掌握的数学能力,教师必须在实际教学环境中抓住各个知识点之间的内在联系,不断优化课堂,以便寻求到更适合学生学习的教学方案和思路.