透过题干抓本质 找准角度寻方法
——以2022年新高考全国Ⅰ卷17题为例谈数列解题教学策略

谭又英

(湖北省洪湖市第一中学,湖北 洪湖 )

在新高考中,数列依然是必考的内容,难度中等偏下.作为重点考查对象,在平时的课堂教学中教师和学生都花费了大量时间与精力巩固,可当题目稍微出现新颖一些的变化,学生还是无法灵活应对.如何改变这种“能听懂,做不对”的现状,下面笔者就以2022年新高考全国Ⅰ卷第17题为例,与各位同仁一起探讨解题教学的策略.

1 真题呈现

(1)求{an}的通项公式;

2 题干分析梳理

很多同学在解题过程中遇阻是因为题目中出现的背景或条件自己并不是非常熟悉,它们不是平时刷题练习过的类型.但是我们要明白,题目可以换背景、变条件、改信息或者调数据,但万变不离其宗,只要能够透过题目表象,紧抓题干主旨,把它们与自己熟悉的基本知识、常规题型、通性通法甚至解题技巧结合起来,就可以迅速找到解决途径.

考点一:等差数列的通项公式

考点二:由an与Sn的关系求通项an

这是数列中的高频考点,考察Sn与an的关系:

学生对这一类题目解法很熟悉,需分别考察n=1和n≥2时的情况,而对于n≥2时,由an=Sn-Sn-1即可求解通项公式.

考点三:数列求和

3 真题解析

考生想要正确完成本题,除了在梳理题干时抓住以上三个考点,计算过程中还需突破隐藏的第四个考点.

考点四:由数列的递推关系求通项公式

递推公式作为数列的一种特殊表示法,体现了数列相邻两项或多项之间的关系,由递推关系求出通项公式,是研究数列性质并解决求和问题的基础[1].

在审题和解题过程中一环扣一环,凭借已有的知识储备,将题干中每一个已知条件转化为熟知信息加以整合,抓住问题的核心和本质层层递进,便可化难为易!

4 教学建议

解题就是把要解决的问题转化为已经解过的题, 即任何数学问题的解决归根到底都是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题,将繁难的问题分解为简单的问题.如何在学生现有知识储备的基础上,培养和提高他们的解题能力,笔者认为教学过程中可以从以下几方面入手,敬请指正.

4.1 重视数学多元表征

表征是认知心理学的核心概念之一,指信息或知识在心理活动中的表现和记载方式.它是我们认识事物的过程中,通过心理活动对学习对象进一步加工,从而形成能被自己接受的知识形式.由于学习者知识结构不同,思维习惯不同,目标意识不同,他们对于同一学习对象同一问题也会产生不同的表征方式.

新教材在数列这一章的情景引入是印度国王奖赏国际象棋发明者西萨的麦粒数目[2],可利用图形表征帮助学生发现规律,视觉化表征形象直观,在许多数列求通项公式的问题中可以达到事半功倍的效果.而等差数列的定义,是在给出一些具体数列之后,引导学生发现规律,在这样的直观认识下,进而形成符号语言定义等差数列.而在实际问题中,学生就可以通过定义判定或证明等差数列,进而利用其性质解决问题.

4.2 构建教学“说题”系统

传统教学模式下,教师是知识的讲授者,学生是信息的被动接受者.在此过程中,教师根据自己的经验进行题型梳理、技巧讲解,学生只能在这种大容量、高难度、快节奏的教学中眼花缭乱,除了折服于老师的“精彩表演”,并没有太多实际收获[3].也就形成大多数同学的学习现状,明明老师讲解时都能听懂,可自己解题往往一筹莫展.这是因为教师在备课时只备了教学内容,而忽略“备学生”这一重要环节,课堂讲解时老师思维流畅,将完整的解答和盘托出,忽视学生的主体地位,没有充分考虑学生的学习现状,以及他们在解题过程中会出现的各种思维障碍,教学效果大打折扣.

新课程倡导“以生为本”的教学理念,新型的习题课教学模式也势在必行.所谓“说题”教学,就是把对题目的认识和理解表达出来,解说可以是分析题目条件、需解决的问题,也可以是条件与结论之间的相互转化,所涉及的知识点或方法,还可以是与这道题目相关联的题型、考点等等.习题教学中的说题方式可以多种多样,教师说题、学生小组说题、师生共同说题,在平等的新型师生关系中,学生真正成为学习的主体,他们不仅对数学学习产生浓厚兴趣,学习的主动性和积极性也有更大提高.

新高考的数学命题让我们认识到,学生机械式海量刷题是无法在这场选拔性考试中获胜的,教学中需要引导他们将“学习”演变为“研究”,真正提高解题教学的高效性,实现“说一题,会一类”的目的.学生在说题过程中不仅说出对题目的认识和感想,最重要的是激发他们的数学思维,在思考、联想、归纳总结的过程中取得认知上的飞跃,逻辑思维能力大大提升.

4.3 进行多维解题反思

世界著名教育家、数学家弗赖登塔尔说过:“反思是数学创造性思维的重要表现,是数学活动的动力.”可见,反思在数学活动中的重要性不可小视.

首先,学生要在老师说题完成之后进行反思,即反思题意.每一个已知条件可以获知什么信息?每一个条件有什么固定用法?被解决的问题可以转化成什么?题目中有哪些代表性的符号、图形、文字等信息,题目条件和结论的关系如何联系起来等等.其次,学生在解题过程中思维受阻要学会反思,找到问题症结所在.无论是平时练习还是考试过程中,面对可以解决的问题却在中途进行不下去,这时不妨停下来作一下反思,重新梳理题干条件,对每一个条件可以获知的信息和结论进行整理,从多个角度汇总分析,寻找切实可行的解决方案.最后,教师在教学中要带领学生对解题活动的经验进行反思.解题不仅仅是为了做对一道题,更多是对已学知识的巩固和检验,发现解题规律,掌握解题策略,形成解题意识.反思过程中要注意“追根溯源”,强调对数学概念、数学定理和性质的准确理解及运用,尝试一题多解,一题多变,培养思维的发散性.另外,还可结合不同层次学生的实际,从思维起点、认知需求、知识结构、目标意识的区别上因材施教,让训练的针对性和实效性更强.

总之,在教学中要体现“培养学生关键能力和核心素养”的课程理念,始终以学生为主题,贯穿观察、分析、归纳、类比、递推、运算、概括等能力的培养[4], 通过“研究式学习”引导学生在解题时多角度观察已知条件和结论, 深入剖析其特征, 透过题干抓住本质, 准确获得解决问题的途径.