用GGB可视化探究一道新高考题

何 英

(福建省福清龙西中学,福建 福清 350315)

现代的教学方式只有在正确的教育理念的指导下,并且在相关教学资源的支持下,才有可能既充分发挥教师的主导作用,又能突出体现学生的学习主体地位.本文在可视化视角下进行研究,通过GeoGeBra数学可视化软件,试图在数学建模活动与数学探究活动中更细致地对高中数学课进行设计研究.

解析几何中圆锥曲线的综合问题历来是教学中的一大难点,纵观全国高考数学卷,我们发现圆锥曲线的压轴题都有一定的难度,尤其是定长定点问题对学生的直观想象素养要求更高.为了突破这一难点,教学中利用GeoGeBra[1]数学可视化软件的动态演示功能,帮助学生直观感知定长定点,为学生理解圆锥曲线问题提供梯子,打造生动的教学课堂,提升学生的素养,同时提高课堂教学的生动性、实效性.

1 试题呈现

题目(2022年全国高考数学甲卷第20题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点．当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3．

(1)求C的方程;

(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α-β取得最大值时,求直线AB的方程．

2 解析探究

2.1 分析验证第(1)问

分析本题第(1)问通过直线MD垂直于x轴时,点M的横坐标与点D的横坐标相等,再根据Rt△MDF中勾股定理得出点M的纵坐标,及点M在抛物线上就比较容易求出P值,从而求出C的方程.

【可视化演示验证】

②拖动M,当M的横坐标为2时,此时MD垂直与x轴,MF的长度显示为3(如图1),所有条件结论均成立,验证完成.

图1 可视化演示验证示意图

2.2 分析验证第(2)问

解析直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．由(1)知F(1,0),D(2,0),由点的坐标可以设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4).

又N,D,B三点共线,则KND=KBD,

【可视化演示过程】

①利用工具栏的直线,点M,D做直线,取直线与抛物线交点A;利用工具栏的直线,点N,D做直线,取直线与抛物线交点B;利用工具栏的线段,点A,B做直线;

②利用工具栏的角度,点D,F,M得到角α即MN的倾斜角α;

③在AB右侧x轴上取一点C(软件量角需要),取AB与x轴的交点E;利用工具栏的角度,点C,E,B得到角β即直线AB的倾斜角β;

④输入命令γ=α-β,输入命令S=tanγ,

⑤隐藏我们不需要的对象

⑥滑动点M进行动态演示,如图2观察S值的变化与γ值的变化,发现M从左往右移动的过程,S与γ先慢慢增大再慢慢减小,通过值的变化找到最大值:S=tanγ≈0.35.

图2 观察S值的变化与γ值的变化示意图

图2

3 拓展探究

3.1 抛物线上动点M,N是否影响定点E

实验1拉动点M,在动态演示的过程中,点A,B都会随着点M的移动而移动,而直线AB与x轴的交点E却没有移动(如图3),为了印证这个发现,将点E坐标显示出来观察.

图3 观察直线AB与x轴的交点示意图

结论1:抛物线上动点M,N不影响定点E.

3.2 抛物线的特征量P对定点的影响

实验2控制滑动条P的值,如图4,当P值为4时,点E(8,0);当P值为3.2时,点E(6.4,0);当P值为-4.5时,点E(-9,0).直线AB过定点(2p,0).

结论2:抛物线C:y2=2px的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点．直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,直线AB过定点(2p,0).

4 注重信息技术与数学课程的深度融合

可视化不仅仅是通过动画的方式来对数学知识进行展示说明,而且已经成为培养数学推理能力的重要手段[2].数学作为具有高度抽象性的一门学科,数形结合能够解决很多问题,还能利用信息技术深入理解问题本质.但是大多数软件对于图像的展示还停留在静态图像上,而GGB将代数与几何结合,随着参数的变化将图像变化动态展示出来,更有助于我们理解发现探究.教师应注重信息技术与数学课程的深度融合,实现传统教学手段难以达到的效果,合理利用GGB深入理解问题本质,以此提高数学教学的有效性[3].通过控制变量让学生观察、发现、探究,使抽象的数学知识变得形象生动,有助于培养学生的思维能力、直观想象能力等.鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决问题.能够熟练使用GeoGebra这款集合了众多软件所长的软件,帮助教师提升备课效率,提高教学质量,具有一定的实际意义[4].