狭义相对论“尺缩效应”下电场力和洛伦兹力的等效性

摘   要：“尺缩效应”是爱因斯坦狭义相对论的重要结论之一。在无限长直导线电流模型中应用“尺缩效应”可以把地面系下导线外的移动电荷受到的洛伦兹力转化为移动电荷参照系下电荷受到的电场力，且转化后两种力大小相等，符合惯性系转换中受力不变的原则。

关键词：尺缩效应；电场力，洛伦兹力；狭义相对论；无限长直导线

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2023）9-0060-3

收稿日期：2023-01-24

作者简介：王磊（1988-），男，中学一级教师，主要从事中学物理教学工作及研究。

1    惯性系转换中出现的电场或磁场消失问题

1.1    电场的消失和出现

在火车上放一个导体线圈，地面上放一块磁铁（图1）。火车开动后，火车上的导体就会切割地面磁铁产生的磁场的磁感线，从而在回路里产生电流。这是一个非常简单的电磁感应实验，但是，当我们分别站在地面和火车上不同视角看问题时，奇怪的事情发生了。

在地面上，我们看到的是：磁铁在地面上静止不动，磁感应强度没有变化。火车经过这里时，火车上运动的导体会切割磁感线，导体内的自由电荷在洛伦兹力作用下定向移动产生电流。而在火车上，我们看到：眼前的导体和回路都没动，当火车经过磁铁那里时，回路里的磁场突然增强了，进而产生了感应电场，感应电场推动电荷运动产生电流。也就是说，地面系下是洛伦兹力推动电荷，火车系下是电场力推动电荷。火车上的人觉得是变化的磁场产生了电场，磁铁附近有电场；地面上的人觉得是运动电子在磁场中受到了洛伦兹力，磁铁附近没有电场。电场，这么实实在在的东西，怎么能在一个参考系里有，在另一个参考系里又没有了呢？

1.2    磁场的消失和出现

假设匀速前进的火车中有一静止电荷，火车上看，电荷静止，电荷周围只存在电场，而在地面上看电荷匀速前进形成电流，进而产生磁场。故地面系下电荷既有电场又有磁场，而火车系下只有电场。火车系下磁场消失了，而地面系下磁场出现了。

2    狭义相对论“尺缩效应”

爱因斯坦狭义相对论的核心在于把电磁理论融入相对性原理中。惯性系转换中出现的电磁消失问题可以用狭义相对论“尺缩效应”来解释。

在火车上放置一两边带竖直镜面平板的AB标尺（图2）。采用激光测距的方法测量标尺长度。让A处的光源发出的光射到平面镜B上，经B反射后被A接收，测量光从A发出到再被A接收所用的时间来测量标尺长度。

在火车参考系中，观察者测得的长度为相对自己静止的长度l0，使用的时间为固有时间间隔t0，两者满足关系2l0=ct0。在地面参考系（图3）中，观察者测得的长度为标尺相对自己运动时的长度l，在激光向右到达平面镜B的过程中满足l+uΔt1=cΔt1；向左回到A的过程中满足l-uΔt2=cΔt2；Δt1+Δt2=t。根据钟慢效应t=，可得l=l0，该式显示了在地面参照系下观察运动的车厢内物理尺寸在运动方向上会变短。根据运动的相对性可知，以车厢为参照系，地面向后运动，在车厢上观察地面上物体在运动方向上尺寸也会缩短。故狭义相对论的尺缩效应可以解释为在非本征参照系观察某一物体的长度比本征参照系长度要短，或者说本征参照系下测量物体的尺寸最长［1］。

3    无限长直导线模型下狭义相对论“尺缩效应”对“电磁消失”的解释

麦克斯韦在提出麦克斯韦方程组时虽然没有选择任何参照系，但是通过火车线圈实验我们可以了解，在不同的参照系下同一组电场和磁场是以不同的形式呈现的。在第一个例子中，地面系下只有磁场，而火车系下却是磁场与电场共存。那么，爱因斯坦的狭义相对论对于以上现象能给出合理的解释吗？

为了计算简单，继续简化模型，考虑无限长直导线问题（图4）。我们知道，导线中有自由移动的电荷，通常只有负电荷可以自由移动。为了简化问题，假设导线中正负电荷均可自由移动，正负电荷的带电量大小都是e。导线中电荷是杂乱无章分布的，为了简化问题，让正电荷和负电荷在导线中整齐上下分开排列。假设导线中所有负电荷相对地面静止，而所有正电荷向右速度均为v，该无限长直导线形成了水平向右的电流I。在地面参考系下，导线中正负电荷的线密度均为ρ0。这样，在地面系下，导线正负电荷因密度相同故在外界产生的电场相互抵消，在导线外部只存在磁场。根据毕奥-萨伐尔定律和安培环路定理可知，距导线垂直距离为r处的磁感应强度大小为

假设距导线r处有一正电荷q水平向右运动速度也为v，则它受到竖直向上的电场力

在地面系下，电荷q只受到洛伦兹力。

现改变参照系，以水平向右运动的电荷q或导线中水平向右移动的自由正电荷为参照系（图5）。则正电荷均静止，而负电荷向左移动速度大小也为v，根据爱因斯坦相对论“尺缩”结论l=l0。导线中正负电荷的总电荷量Q不因参照系改变而变化。再根据电荷线密度ρ=可知，以水平向右运动的电荷q为参照系时，导线中正电荷所在空间将延长，正电荷密度将变小为ρ+=ρ0；负电荷所在空间将变短，负电荷密度将变大为ρ-=，则导线上的净电荷密度

常规导线中电荷的定向移动速度量级为10-5 m/s，正负电荷的定向移动速度远远小于光速，故对（5）式应用泰勒展开到一阶小量，舍掉二阶以上小量可知

ρ为负电荷。故在导线周围存在指向导线的电场，设距导线距离为r处的电场强度为E，取任意长为l的導线，根据高斯定理有E·2πrl=，得到

根据电场力公式F=Eq，结合（6）式可得

根据伽利略相对性原理，在不同惯性系间转换时不会影响物体的受力情况，故（4）（8）式结果应该相等［2］，即地面系下电荷q受到的洛伦兹力F=应与运动电荷q参照系下电荷q受到的电场力F=相等。根据麦克斯韦方程组结论［3］可知

将（9）式代入（8）式可得

本文构建了无限长直导线模型，利用狭义相对论“尺缩效应”解释了不同惯性参照系下电磁场的“消失”现象。电场、磁场的物质性在参照系的转换中显示了它们和一般物体的不同，在不同惯性系下电磁场以不同的形式存在。通过论证地面系下电荷受到的洛伦兹力与电荷系下电荷受到的电场力相同，反过来印证了狭义相对论的正确性。狭义相对论的提出目的在于融合电磁理论，在狭义相对论的物理教学中通过对不同惯性系下电磁理论的说明可以更好地向学生展示狭义相对论原理，同时让学生更好地理解电磁理论。

参考文献：

［1］胡爱和.车厢模型的构建及应用——“相对论简介”教学研究［J］.物理教师，2014，35（11）：28-29.

［2］王磊，张天浩.转动参考系下的惯性力［J］.物理教学探讨，2020，38（11）：55-57，60.

［3］董广宇.从麦克斯韦方程组到电磁波方程［J］.现代物理知识，2017，29（3）：51-54.（栏目编辑    蒋小平）