追根溯源，深化理解

桑坤

摘要：调查发现，“简便”是学生对竖式运算顺序的主要认知依据。对此，教师带领学生展开一场对“竖式”追根溯源的探寻，借助相关史料，引导学生在不断地“猜想—验证”中，明了竖式的“前世今生”，深化对竖式的理解。

关键词：小学数学；竖式；数学史料；质疑精神

一、教學背景

三年级教学“两、三位数除以一位数”时，有学生会问：在用竖式计算加法、减法、乘法的时候都是从低位算起，为什么在用竖式计算除法的时候就要从高位算起？除法竖式是否也能从低位算起？受到之前学习的加法、减法和乘法竖式计算经验的负迁移，学生产生这样的疑惑是非常自然的。这个问题也具有

研究的意义和价值。笔者翻阅了各个版本小学数学教材后发现，只有北师大版小学数学三年级下册《除法》单元中对这一问题有所提及（见图1），但并未作出详细的解释与说明。图中女孩的回答仅仅是：“从低位算起，有时很麻烦！”但“麻烦”并不意味着不能从低位算起。

鉴于此，笔者在所执教的六年级一个班做了一次“关于‘竖式’，你知道多少？”的学情调查，想了解一下即将毕业的小学生对于“竖式”知道些什么、思考过什么、是否产生过质疑。具体调查内容如下：（1）在用竖式计算乘法的时候，我们是从低位算起，是否也可以从高位算起？你是怎么想的？试着将你的想法写出来。（2）在用竖式计算加法、减法和乘法的时候，我们是从低位算起，为什么除法竖式却从高位算起？是否也可以从低位算起？你是怎么想的？试着将你的想法写出来。

关于问题1，所有学生都认为可以从高位算起，但基本上都认为从高位算起比较麻烦（图2所示即为一名学生的回答）。关于问题2，64%的学生认为可以从低位算起，同样认为从低位算起比较麻烦；36%的学生认为不可以从低位算起（图3所示即为一名学生的回答）。

从调查的结果来看，“是否简便”是学生对竖式运算顺序的

主要认知依据。而对于竖式的书写格式，以及竖式的运算顺序等规定的缘由，学生没有做过多思考，属于“接受型学习”。即使有一些疑惑，

可能也在教师“就是这样规定的”“从来如此”等简单粗暴的解释下，被按回了心里。这无疑扼杀了学生的创造性，限制了学生探究能力的发展。

如何抓住学生的质疑，让他们对“竖式”的相关内容有更为深入的了解？笔者认为，可以带领学生展开一场对“竖式”追根溯源的探寻，借助相关史料，引导学生在不断地“猜想—验证”中，明了竖式的“前世今生”，深化对竖式的理解。

二、教学过程

（一）问题引领，自主探寻揭本质

1.问题引领，聚焦本质

师同学们，今天我们一起研究的关键词是——竖式。

关于“竖式”，你们都知道些什么呢？

生我们已经学习了加法、减法、乘法和除法竖式。

生我们学习的竖式中，有整数和小数的竖式。

生用竖式计算加法、减法、乘法的时候，都是从低位算起的。

生用竖式计算除法的时候，是从高位算起的。

师对于我们一直在用的竖式，你是否产生过一些疑惑？

生在用竖式计算加法、减法、乘法的时候都是从低位算起，为什么在用竖式计算除法的时候就要从高位算起呢？

生除法竖式是否也能从低位算起？

师为你们善于思考、敢于质疑的学习品质点赞

。今天这节课，我们就围绕这两个问题，开启我们的探索之旅。

2.合作交流，探寻本质

师对于“除法竖式为什么要从高位算起？”“除法竖式是否也能从低位算起？”这两个问题，大家有什么想法？四人小组交流，将你们的思考过程写下来。

（学生交流、汇报。）

生我们小组交流后的思考是这样的：竖式计算除法的时候是可以从低位算起的，（展示做法，如下页图4所示）以58÷2这道除法竖式为例，但计算的过程会比较麻烦，步骤比较多。

生我们同意第一小组的想法，如果是三位数除以一位数的竖式，步骤会更多、更麻烦。

生我们还可以借助小棒来理解。例如，（展示做法，如图5、图6所示）在列竖式计算32÷2时，先分十位，再分个位只需要平均分2次；而从个位分起，需要平均分3次。

师我们在研究问题的时候，都是从简单到复杂的。之前，大家举的例子都是能够整除、没有剩余的情况，那不能整除、有剩余的情况是否也一样呢？大家试着再举例说明。

（学生讨论、汇报。）

师我们通过举例子、摆小棒，用自己的方法对除法竖式的计算顺序进行了分析与说明。大家明确了两点：（1）竖式计算除法的时候是可以从低位算起的；（2）从低位算起会比较麻烦，步骤较多。这是同学们共同思考的成果，为大家点赞。

（二）回顾历史，追溯除法竖式的根源

师通过自主探究，同学们清楚地认识到用竖式计算除法从高位算起的缘由。可是，对于即将小学毕业的你们，仅仅知道这些

是远远不够的，我们需要进一步探寻除法竖式背后的故事。除法竖式是如何演变成现在的样子的？接下来，我们就一起走进数学历史的长河中去一探究竟。历史上出现过许多看起来极其烦琐的除法竖式计算方法。

（出示图7）我们先来看清代《御制数理精蕴》一书中介绍的一种极具特色的除法计算方法。原书中对计算过程的描述为：“法以六十四石为实列于下，八人为法列于上，因法之八大于实之首位之六，故将法退一位书之。再看实足法几倍，今足八倍，故书八于法上。乃以得数之八与法之八相因得六十四书于实下，与实相减恰尽，得数为八石也。”请结合这个竖式和这段文字，同桌互相说一说这个除法竖式的计算过程。

（学生同桌交流。）

师（出示下页图8）这一计算过程可以用现在的语言结合图示作出解释。第一步，把被除数“64”写在下面，除数“8”写在上面。因为除数“8”大于被除数最高位上的“6”，所以要退一位写。这实际上是运用乘法计算除法，相当于思考“8乘以多少等于64”。第二步，看被除数最多包含除数的几倍，可以看出最多包含8倍，所以在除数上面写“8”。第三步，将得数“8”与除数“8”相乘得“64”，写在被除数“64”的下面。第四步，与被除数相减，恰好得“0”。说明得数就是“8”。这种竖式书写格式和我们现在什么计算的格式比较像？

生像乘法的竖式。

师确实，它是在利用乘法竖式的写法来计算除法。这本书中对于比较复杂的除法也采用了同样的计算方法，（出示图9）如9225÷45。同桌互相说一说被除数、除数、商在哪？

生其中的“九二二五”是被除数“9225”，“四五”是除数“45”，上面的“二〇五”是商“205”。

师谁还有补充？

生把竖式中的除数“四五”移到左侧，加上“丿”，就和我们现在所写的除法竖式很接近了。

师你观察得很仔细，（出示图10）我们整理一下看看。现在，对于除法竖式的书写格式和从高位算起的缘由，大家是否有不同的体会了？

生现在除法竖式的书写格式，其实是从乘法竖式得来的，只是稍

微做了调整。

生我知道了除法竖式可以从低位算起，并通过举例得到了证明，但从高位算起更简便。

（三）融入乘法，建构竖式的“前世今生”

师刚才我们一直在研究除法竖式，想不想了解一下乘法竖式的运算顺序和书写格式是怎么发展的？

生（齐）想。

师在乘法竖式计算中，我们是从低位算起的，而在历史上并非一直如此。比如，（出示下页图11、图12）“135×12”竖式的计算方法是这样的。

请同学们根据这两道乘法竖式，同桌合作完成探究。探究内容如下：（1）同桌互相说一说两道竖式的计算过程，它们分别是从哪一位算起的？（2）两种算法有什么不同的地方？（3）比较现在乘法竖式的计算过程，你有什么想说的？

生左边的竖式是将135分成“100＋30＋5”，分别和12相乘来计算的；右边的竖式是将12分成“10＋2”，分别和135相乘来计算的，都是从高位算起的。

师说得真好！从历史上的算法来看，我们现在所规定的从“从低位算起”并不是唯一的。从计算的过程和步骤中，我们能体会到“从低位算起”书写的简约与

方便。同学们，今天我们一起探寻了乘法、除法竖式的“前世今生”，从历史的视角探寻了竖式的演变过程。希望通过这节课的学习，你们对“竖式”

能有更多不一样的认识。最后，我们能否大胆猜测一下：在若干年后，竖式是否还会发生变化？会发生怎样的变化？

三、教学思考

对于数学规定，如果教师按部就班地施教、学生不假思索地接受，这些约定成俗、理所应当的规定就如水中的浮萍，容易导致学生“一学就懂，一做就错”。因此，教师需要

引导学生把目光聚焦于数学规定背后所隐藏的思考过程。“数学是积累的科学，它本身就是历史的记录。或者说，数学的过去融合在现在与未来之中。”［1］以“史”化人的理念给当下的数学课堂注入了新的能量。将数学知识背后所蕴含的数学思想、数学精神、数学史等相关

内容与数学知识进行联结，能让学生在感受数学理趣的同时，厘清数学知识的来龙去脉，并深化理解。

本课中，笔者先呈现了数学史料中除法的竖式格式及其计算过程，让学生初步感受古代的除法竖式与现在的乘法竖式很像。然后，引导学生带着这样的感受，一步一步地揭开除法竖式的秘密，从而让学生对“除法竖式为什么从高位算起？”这一问题有更为清晰且深刻的理解。紧接着，笔者顺势引出乘法竖式的相关数学史料，让学生在小组交流与合作中继续思考。

六年级学生有能力自主探究竖式的“前世今生”，体会与感悟现在的竖式与过去的竖式的异同，从根本意义上理解我们所认为的“约定俗成”“简便”的深层含义。在演算、证明的过程中，学生提升了分析问题、解决问题的能力；在回顾历史、审视计算方法的过程中，学生深化了对知识的理解。

当然，数学史料的使用不是简单的呈现，而应融入具体的教学情境中。具体地，笔者创设了两处认知冲突，助力学生的探究学习，同时培养学生的质疑精神。其一，除法竖式通常从高位算起，是否也能从低位算起？其二，乘法竖式通常从低位算起，是否也能从高位算起？调查发现，学生目前的認知仅停留在除法竖式从高位算起、乘法竖式从低位算起的简单理解层面。这样的两处认知冲突，从儿童的认知视角出发，翻转约定俗成，在充分体现知识之间的密切联系的同时，激发学生自主探究的意识，引领学生积极、主动地参与探究活动，并在探究活动中更好地感悟数学的理性与严谨，更好地理解数学知识的内涵与外延。

参考文献：

［1］ 郜舒竹.小学数学这样教（第2版）［M］.上海：华东师范大学出版社，2021：6469.