以“任意角”为例看深度学习之“深”

郑金宾　郑成鸾　赵维亮

【摘 要】基于高中数学课堂浅层学习的现实问题，对深度学习的课堂表现样态进行了深入研究，提出了深度学习的八种表现样态，即深在主题、结构、联系、思想、活动、批判、迁移、反思.以任意角为例具体阐述了深度学习的发生机制，构建了深度学习的发生路径，有助于一线数学教师准确把握深度学习要求，提升学生数学学科核心素养.

【关键词】深度学习;数学核心素养;任意角

一线教师常常有这样的困惑与苦恼：我的课堂是属于浅层学习，还是属于深度学习？与浅层学习比较，深度学习究竟“深”在哪里？准确把握深度学习之“深”，是有效落实深度学习要求、构建深度学习实施路径、提升数学核心素养的前提.现以人教A版（必修第一册）“5.1.1任意角”为例，谈谈深度学习的表现样态，以及如何在学习的“深度”上发力，让学生的学习真正深度发生.1 深度学习深在“主题”中

浅层学习的课堂往往看不到单元主题的学习，课堂上呈现的是一些孤立的知识点；而深度学习的课堂从提升学生数学素养的角度出发，通过对教学内容的整体把握，对教学内容进行重组、优化，以单元主题为单位进行设计与呈现，给学生以清晰的单元主题学习视角，使得课时在单元中找到“固着点”“价值点”，着重引导学生对相互关联的知识形成系统的认知，从整体的视角理解学习内容，厘清知识的来龙去脉，经历对数学知识的探索、发现和建构的全过程，促进对数学知识的整体性理解，使学生既见树木，又见森林.

“任意角”是三角函数单元的大概念，是三角函数教学的种子课.三角函数是刻画周期现象的重要数学模型［1］，任意角的教学应该放在“三角函数”主题中进行设计.如果课堂上舍弃任意角的主题属性，单刀直入介绍任意角的相关知识，孤立地从任意角知识属性设计课堂教学，学生就不可能从整体上把握任意角的内涵与价值.可以列举现实世界中一些具有周期性的现象，然后指出它们的共同点：周期性;明确本单元的学习主题：三角函数，并提出以下问题引发学生继续思考：

已知点P在半径为r的圆O上绕着圆心O做匀速圆周运动，请回答：

（1）点P的运动有什么规律？

（2）点P在圆O上运动时，如何表示点P的位置？用什么量来表示？

教师引导学生得出结论：点P的运动具有周而复始的变化规律，点P的位置可以借助角的大小变化进行刻画.这样，从单元主题的角度设计课时教学，使得课时教学紧密地“固着”在单元主题教学中，课时教学紧紧围绕单元主题教学展开，既突出了三角函数的作用、价值与意义，又使得任意角的学习任务更加明确，单元主题与课时设计浑然一体、相辅相成.

2 深度学习深在“结构”中

浅层学习的课堂往往看不到结构化的课程内容和学生活动，教师追求学科知识逐“点”解析、学科技能逐“项”训练的简单线性排列和连接；而深度学习的课堂重视学习经验和知识的整合与结构化，强调改变知识、技能的简单线性排列方式，改变课堂教学内容分散和教学过程不连续问题，构建有逻辑、有层次、有体系的知识结构，学生形成的往往是关联结构、抽象拓展结构，能主动引发自身复杂的外显学习反应，并能对自身认知结构进行价值评价与确认，提升分析、综合、比较、评价、创新等高阶思维能力.

任意角属于概念范畴，涵盖着“背景—定义—分类—运算—性质”的认知结构.教师要利用元认知提示语，启发学生思考：要完成任意角概念的建构，需要完成哪些事情？结构性问题1 学生在初中接触的角都在0°～360°，关于角的认识已形成一定的思维定势，从而产生结构性问题：角的概念为什么要扩充？

结构性问题2 根据角的动态定义，刻画一個角，需要知道旋转量和旋转方向，从而产生结构性问题：如何扩充任意角的概念？“任意”体现在哪些方面？

结构性问题3 任意角概念中包含的一切事物，需要通过其属性的区别表示出来分类研究，从而产生结构性问题：如何将任意角进行分类？结构性问题4 角的范围扩展到任意角后，角的运算意义也随之得到扩展，从而产生结构性问题：如何定义任意角的加法和减法运算？

结构性问题5 在平面直角坐标系中，“始边、终边都相同”的任意角有无数多个，从而产生结构性问题：终边相同的任意角有什么性质？

通过以上结构性问题的设置，深刻揭示任意角概念的内涵和外延，让学生形成关联性、系统性、拓展型的认知结构，有利于把握任意角的本质，提升结构化认知能力和水平.3 深度学习深在“联系”中

浅层学习的课堂往往看不到学科知识间的联系，或者联系比较浅显、松散、脆弱；而深度学习重视在单元学习中进行多角度、多维度的联系，认为联系是学习发生的必要条件，联系既是手段，又是目的，教学中不为联系而联系，而以数学核心素养为导向实施深度联系，在建立不同知识联系的过程中，深度联结学习过程中的知识载体、问题设计、思维方法、数学思想、核心素养，触及学生思维深处.

在任意角的学习中，任意角、正角、负角、零角、象限角、轴线角、终边相同的角等，这些概念是如何提出的？它们之间有怎样的内在关联？任意角的运算是如何规定的？这样的规定与以前学习的运算有怎样的内在的关联？教师要引导学生积极思考、主动面对这些关联性问题.

关联点1 通过实际问题（体操中的人体旋转、齿轮旋转、钟表指针旋转等）建立任意角与生活经验的联系，基于问题解决的需要引发学生的认知冲突，引出角概念的推广问题，让学生体会概念扩充的必要性，加深对“角是任意的”的认识，培养模型思想.

关联点2 围绕任意角要素——旋转量与旋转方向建立任意角与实数的联系，类比正数、负数的规定，用符号表示旋转方向，揭示任意角的内涵，让学生体会概念规定的合理性，加深对“任意角是转出来的”的认识，培养数学抽象素养.关联点3 为了能把角放在一个统一的标准下进行讨论，建立任意角与平面直角坐标系的联系，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，定义象限角、轴线角，揭示概念的外延，让学生体会概念生成的自然性，加深对“任意角是有类别的”的认识，培养直观想象素养.

关联点4 初中学过的角的和、差、倍角运算，角的运算不考虑方向，而任意角是“既有大小又有方向的角”，建立任意角与实数运算的联系，类比实数的加、减法得到任意角的加、减法，让学生体会概念运算的吻合性，加深“任意角是可以运算的”的认识，培养数学运算素养.

关联点5 在平面直角坐标系中，始边与终边是任意角的组成要素，建立“始边、终边都相同”的任意角的联系，寻求这些角在代数表示上共同的量化表征形式，实现数与形的和谐统一，让学生体会概念要素的应用性，加深对“任意角是周而复始的”的认识，培养直观想象素养.

4 深度学习深在“思想”中

浅层学习的课堂往往不关注学科知识产生和发展所依赖的学科思想方法，仅仅关注学科知识的事实层面或者囿于学科形式的符号化表达；而深度学习重视对数学思想方法的学习，认为任何数学知识的背后一定有思想方法的支撑，数学思想方法具有导向性、统领性、概括性、创造性特点，它是数学知识的精髓，是数学知识迁移的基础，是沟通数学各部分、各分支间联系的桥梁，是学生形成整体认知结构的纽带，是数学知识赖以发生、发展、应用的源泉和推手.

在任意角加法运算的教学中，教科书这样定义：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.在这个定义中，既没有考虑角的正负，也没有考虑旋转方向.这个运算法则蕴含着丰富的数学思想方法，是渗透数学思想方法的有效载体.

数学思想方法1 类比实数的加法运算，提出任意角加法运算的可行性，渗透类比的思想方法.

数学思想方法2 如何定义两个角相加才是合理的？角“α+β”是两次连续旋转的结果，可以分如下几种情况：（1）α>0，β>0；（2）α>0，β<0；（3）α<0，β>0；（4）α<0，β<0，体现分类讨论思想的应用.

数学思想方法3 对应以上四种情况，作出对应的几何图形，找出角α+β的旋转方向和旋转量的变化规律，体现数形结合思想的应用.数学思想方法4 根据以上四种情况的分析，归纳出α+β的合理性定义，体现特殊到一般思想的应用.5 深度学习深在“活动”中

浅层学习的课堂往往不关注学生学习活动的设计与实施，或者学生学习活动的设计比较简单、机械、缺乏挑战性；而深度学习的课堂重视学生学习活动的设计，认为数学教学是数学活动的教学，数学学习需要在活动中得以实现，学习活动的设计要体现自主性、衔接性、进阶性、系列化、结构化、个性化，要立足于学生的最近发展区，富有挑战性；教师能围绕学习目标设置恰切的学习活动，善于激发学生参与的积极性，让学生“动起来”；学生能够感到自己是学习活动的主体，表现为积极主动的学习状态.

终边相同的角可以视为象限角概念的性质，其代数表征的形成需要教师设计指向问题解决的学习活动，让学生观察、思考、运算、抽象、概括；而活动的实施过程又恰恰指向了数学抽象、直观想象、数学运算等素养的形成与发展.

活动1 发现问题，引发思考.象限角的始边相同，以射线OB为终边的角有无数个，即这些角有“始边、终边都相同”的共同特征，这一特征如何量化？

活动2 从特殊角入手发现规律.借助图象，观察与-32°终边相同的角之间的数量关系，在“旋转整数周”的帮助下，通过运算发现共同特征，并得出表达式.

活动3 利用信息技术手段验证规律.借助信息技术，在直角坐标系画出任意角，并测出角的大小，再观察角的终边旋转数周后，其大小与原角之间的关系，给出几何意义的代数解释.

活動4 形成一般性结论.从特殊到一般，从具体到抽象，通过数形结合、数学运算形成结论，即：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.

6 深度学习深在“批判”中

浅层学习的课堂往往不关注批判过程的设计与实施，盲目追求答案的标准性和唯一性；而深度学习的课堂重视批判性思维能力的培养，认为任何数学知识都具有批判性，没有批判就不会有对数学知识的深层次理解，不经过批判、质疑的学习过程是不完整的；教师注重批判性学习过程的设计，总能在看似没有批判的情境中设计出批判性的问题；学生批判性意识比较强，善于在对教材、教师、他人的批判质疑和自我批判的过程中，实现知识的深层次建构.

在象限角的教学中，利用直角坐标系作为同一“参照系”引入象限角的概念，然而在学生原有认知结构中，锐角、钝角、正数、负数等前概念根深蒂固，要深刻把握象限角的本质，必须围绕象限角概念开展批判性学习活动，改变学生的“自我中心主义”和惯性思维，实现批判性意义建构.

认知冲突问题：根据实数中正数大于负数的原理，30°比-40°大.

思维陷阱问题：30°与-30°的关系是什么？30°与150°的关系是什么？30°与210°的关系是什么？

模糊认识问题：小于90°的角是锐角，第二象限角是钝角，第二象限角比第一象限角大.

7 深度学习深在“迁移”中

浅层学习的课堂往往不关注迁移过程的设计与实施，课堂上以接受知识为主，侧重于记忆、模仿、理解、练习等过程，教学情境单一、重复、陈旧；而深度学习的课堂认为迁移与运用是深度学习的目标与导向，是学生内化数学内容之后的外化表现及创造性表达，强调学习的主动性、情境性与创造性，突出间接学习经验内化又外化的过程，着重培养学生在新情境中将所学知识转化为自身的综合实践能力；教师重视迁移运用过程的活动设计，将所学知识置于新情境中让学生尝试解决，学生乐于在新情境中运用所学知识解决新问题.

任意角是“有方向的角”，在任意角的知识结构中，任意角与对称变换、旋转变换等几何变换密切相关，具有从代数运算到几何变换的迁移特性；同时任意角的概念与现实生活息息相关，需要将任意角迁移到现实情境中才能赋予知识生动性与创造性.

近迁移：已知角α是第二象限角，试判断-α，180°+α，180°-α，360°+α，360°-α分别是第几象限角？通过任意角的运算，体会几何变换应用.

远迁移：钟表指针停在12点的位置上，甲同学将指针按逆时针方向旋转1/4圈，乙同学将指针按顺时针方向旋转1（1/4）圈.

（1）请你从任意角概念出发，比较这两种运动；

（2）请在同一直角坐标系中，作出这两个角，并进行比较.

8 深度学习深在“反思”中

浅层学习的课堂往往不关注反思过程的设计与实施，以教师的思考替代学生的思考，以浅层次的接受替代深层次的探究，以简单的重复性总结替代学生对学习过程和学习结果的再思考；而深度学习的课堂认为反思是确保学习活动深层次发生的基本条件，是能力走向素养的关键步骤.它往往由学生主动发起，对自己的学习过程和学习结果进行再认识、再思考、再创造.教师能时时处处将反思与所有学习活动紧密结合起来，将学生的反思能力作为重要的評价维度进行考核；学生勤于反思、善于反思、乐于反思，将反思置于学习的全过程，在反思中享受进步的乐趣.

任意角的学习是一个完整的过程，需要反思的问题有很多.如，反思点1：角的概念为什么要扩充？如何扩充？反思点2：如何想到用正、负号来刻画不同旋转方向？为什么可以规定逆时针方向的角为正角？反思点3：如何刻画不同旋转大小的角？为什么要在直角坐标系中表示角？反思点4：在平面直角坐标系下，终边相同的角如何表征？反思点5：任意角的概念如何应用到真实情境中？反思点6：任意角的研究路径是什么？与以前学习过的数学概念的研究路径相同吗？反思点7：通过什么样的学习方式学习任意角？有没有更好的学习方式？自己的学习经验是什么？等等.

“牵一发而动全身”.当把角扩充到任意角以后，需要进一步反思：初中所学习的三角函数知识又该如何调整以适应这种变化？如何将锐角三角函数扩充到任意角的三角函数？为满足任意角三角函数的定义，任意角的度量是否需要引入新的度量值？这种新的度量值与角度值如何进行换算？如何利用任意角的三角函数来刻画周期性变化现象？等等.通过对以上问题的反思，使学生对学习过程进行科学慎重的回顾、分析和检查，实现学生的自我监控、自我调整、自我评估，形成反思意识，培养反思能力.

总之，深度学习以学生发展为本，以数学核心素养培养为导向，遵循知识发生发展规律和学生认知发展规律，直面学生学习困境，着力解决学生学习中的障碍点、困惑点、生长点，在学习的“深度”上发力，让学生的学习“深下去”“广出来”“远开来”［2］，体现数学育人价值，实现数学核心素养的形成与发展，让学生收获宝贵的精神财富.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020：1-8，80-88.

［2］刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养［M］.北京：教育科学出版社，2018：29-34，45-62.

作者简介

郑金宾（1975—），男，山东泰安人，天津市第一百中学教科处主任，正高级教师;研究方向以“促使学习发生”为切入点，致力于学生数学学科核心素养的提升;课例多次荣获国家、省市级一等奖；出版教学专著《“实”话高中数学教学》;发表论文30余篇；主持或者参与完成国家级、市级课题10余项.

郑成鸾（1984—），女，天津人，中学一级教师；研究方向是高中数学教学；主持完成国家级课题《高中数学教学中利用直观建构式教学方法提高学科教学质量的过程性实践研究》；荣获全国信息与课程整合大赛一等奖，获市级优质课，连续多年获全国数学“希望杯”竞赛优秀辅导员.

赵维亮（1983—），男，山东淄博人，中学一级教师；校级骨干教师，校级优秀班主任，荣获天津市普教系统青年教师教学竞赛三等奖，东丽区青年教师教学基本功一等奖，获市级优课，连续多年获全国数学“希望杯”竞赛优秀辅导员；研究方向是高中数学教学.

基金项目 天津市教育学会“十四五”教育科研规划重点课题“指向学科核心素养的高中数学课堂深度学习教学策略的研究”（KT-［十四五］-010-ZD-2102）.