基于高阶Lamb 波模态频谱差异系数的腐蚀检测

陈飞宇 ，卢丙举 ，曹徐伟 ，曾 亮

（1.中国船舶重工集团公司第七一三研究所，河南 郑州 450015；2.杭州电子科技大学机械工程学院，浙江 杭州310018；3.西安交通大学机械工程学院，陕西 西安 710049）

航空、船舶、高铁、能源等领域机械装备的服役工况多变、服役环境恶劣，容易诱发腐蚀，带来重大安全隐患.以潜艇为例，由于长期工作于压力高、温度低、生物污损严重的深海海域之中，大量海盐粒子聚集产生的吸湿潮解现象使金属表面液膜导电性增强，再加上氯离子的侵蚀作用，其腐蚀行为复杂，破坏程度严重.因此，针对这些机械装备金属结构的快速腐蚀检测问题亟待解决.

超声Lamb 波具有独特的频散特性，与层析技术结合可以快速检测和评估大型薄壁结构中出现的腐蚀损伤[1-2].Malyarenko 等[3-4]利用S0 模态的飞行时间（time of flight, ToF）作为层析参数，结合双跨孔扫查和同步迭代重构技术，实现了平底孔、厚度渐变孔等损伤的评估.Belanger 等[5-6]结合有限元仿真和实验研究，证明利用低频基础模态检测腐蚀损伤必须满足射线理论条件，即损伤特征尺寸需大于Lamb波波长和Fresnel 区宽度.Huthwaite[7]分析了利用低频A0 模态ToF 会欠估计壁厚损失，而利用低频S0模态ToF 会过估计壁厚损失的原因.Rao 等[8-9]提出全波反演算法，通过局部优化不同频率下的理论模型与测试数据之间的波形失配函数，获得了可以表征结构剩余厚度的波速图.通常而言，Lamb 波检测腐蚀损伤的灵敏度取决于工作模态在特定频率范围内的频散程度.然而，由于腐蚀区域相对于待测结构往往比较小，ToF 变化并不显著，反演结果极易受到路径长度误差等的干扰.

多模态特性是Lamb 波传播的另一典型特点，可为其损伤检测提供更为丰富的信息支撑和参数选择.Rose 等[10]对比结构中有、无腐蚀损伤情况下高阶模态接收信号的波形差异，并利用高阶模态的截止特性估计腐蚀深度.Luo 等[11]利用脉冲激光器激发多个Lamb 波模态，并利用高阶模态和基础模态的组合实现微小腐蚀的有效检测.Cao 等[12]建立包络差异系数，度量A1 模态直达波经过腐蚀损伤后的波形畸变，实现了腐蚀的检测和定位.

本文利用略高于截止频率的A1 模态进行腐蚀检测，通过建立频谱差异系数指标描述损伤对直达波包的散射和模态转换效应.随后，利用有限元分析论证了该指标对不同宽度、深度腐蚀的敏感性和有效性.进一步，针对铝板中的腐蚀损伤开展实验研究，实现了损伤的准确成像和精确定位.

1 基于截止特性的腐蚀检测方法

1.1 高阶模态截止特性

图1 给出了铝板中的Lamb 波频散曲线.材料参数如下：弹性模量E= 71 GPa，泊松比ν= 0.33，密度ρ= 2 700 kg/m3.图中：A0、S0 为基础传播模态；A1、S1、S2 为高阶传播模态；pcutoff,A1和pzgv分别为A1 模态的截止频厚积和S1 等模态的零群速度频厚积；红色为对称模态，蓝色为反对称模态.

图1 Lamb 波在铝板中的频散曲线Fig.1 Dispersion curves for Lamb waves in aluminum plate

观察频散曲线可以发现，基础传播模态A0 和S0 在所有频厚积下都会出现，而高阶传播模态，如A1、S1 和S2 等，只有在特定频厚积以上才会出现.若频厚积低于截止值，高阶传播模态可能转换为非传播模态（波数为虚数），即只在局部产生振动，无法沿板平面向外传播能量.高阶模态的对称模态截止频厚积[13]为

对于反对称模态，截止频厚积为

式（1）、（2）中：cL为纵波波速；cT为横波波速；n为正整数.

对于以高于截止频率传播的高阶模态，如果在其传播路径上因腐蚀引起的厚度损失足够显著，则其对应的频厚积可能会低于其截止值.高阶模态的部分能量将转换为其他低阶模态，其余部分能量由于厚度损失而被反射.因此，在截止频率附近激发所需的高阶模态，观察信号的波形或者幅值变化，理论上可实现厚度损失类（如腐蚀、磨损等）损伤检测.

1.2 直达波相干系数

对于Lamb 波，腐蚀的出现等效于厚度损失，如果传播路径上厚度损失足够大，频厚积会减小到截止值以下.靠近截止频率的高阶模态遇到厚度损失，往往会发生较其他频率处更为显著的模态转换现象，一部分能量透射继续向前传播，另一部分能量被反射.因此，在截止频厚积附近激发所需的高阶模态并评估其直达波频域分布的变化，可以有效检测表面腐蚀.

图2 给出了A1 模态群速度频散曲线随板厚d变化的演化关系，背景是汉宁窗调制的20 个周期正弦波信号频谱，中心频率为1 000 kHz.板厚d从1.8 mm 逐渐减小至1.4 mm，相应地，截止频率（群速度为0）逐渐增加.当板厚小于1.6 mm 时，A1 模态的频带显著损失；当板厚减小到1.4 mm 以下时，A1 模态从激励频带[900, 1 100] kHz 上完全消失.因此，直达波包的改变可以有效预测腐蚀的存在.

图2 A1 模态群速度频散随板厚变化的演化关系Fig.2 Evolution of group velocity dispersion of A1 mode with plate thickness

然而，靠近截止频率处高阶模态的频散现象非常严重，导致直达波在时域的能量扩散，难以直接评估波形畸变的程度.因此，采用频散补偿来提升直达波在时域的能量聚集程度.以中心频率为ω0的窄带时域信号f(t)作为输入，仅考虑频散关系为k(ω)的单一模态，其传播距离为L时得到接收信号g(t)如式（3）；f(t)、g(t)的频谱F(ω)、G(ω)分别如式（4）、（5）.

式中：A(ω)为整个系统的幅值频响函数，包括激励换能器、接收换能器的幅频特性以及Lamb 波在介质中传播的衰减特性等[14]；t为时间；ω为频率.

在激励频带内进行线性映射可以移除频散效应、压缩波包，使得接收信号更容易解释.在中心频率ω0处利用一阶泰勒展开klin(ω)=k0+k1(ω-ω0)代替实际频散关系k(ω)，得到补偿信号gc(t)及其频谱Gc(ω)，如式（6）、（7）.

式中：k0和k1由Lamb 波模态的相速度cp(ω0) 和群速度cg(ω0) 进行定义，分别如式（8）、（9）所示.

以A1 模态为例，图3 给出了1 000 kHz 附近表征角波数与频率关系的频散曲线及其一阶泰勒展开.采用线性映射方法，可以对频散的接收信号进行补偿，便于从时域中提取关注的模态成分.

图3 1.8 mm 铝板中A1 模态的频散关系及其一阶泰勒展开Fig.3 Dispersion relationship and first-order Taylor expansion of A1 mode in aluminum plate with a thickness of 1.8 mm

相干函数通常用于描述在频域内输出信号中输入信号产生输出信号所占的比例.若输出信号完全由输入信号引起（线性系统），则相干函数等于1，即完全相干.若相干函数在0～1，则表明有以下3 种可能：有外界噪声干扰，有其他输入来源，系统非线性.为了描述厚度损失对直达波包的影响，定义f(t)和gc(t) 的相关系数为

式中：Sfg(ω)为f(t)和gc(t)的互功率谱密度；Sff(ω)和Sgg(ω)分别为f(t)和gc(t)的自功率谱密度.

相干系数γfg(ω) 是频率的函数，在频域内描述f(t)和gc(t)的相关性.在此基础上，损伤因子即频谱差异系数可定义为

式中：ωmax和ωmin分别为输入信号f(t)的频率上限和下限；B=ωmax-ωmin为输入信号f(t)的有效带宽.

靠近截止频率的A1 模态成分在厚度损失处发生显著的模态转换，使得式（4）不再成立，相干系数γfg下降，得到较大的FSDC 值；反之，若A1 模态成分改变较小，信号近似完全相干，FSDC 值接近0.损伤因子FSDC 在0～1，其大小可以表征腐蚀损伤情况.

2 有限元分析

为了验证所提指标的有效性，利用ABAQUS/Explicit 软件仿真Lamb 波在铝板中的传播，该铝板的宽度为500 mm，厚度为1.8 mm.图4 给出了包含矩形槽的二维有限元模型，并在板厚度方向建立坐标系，其原点位于模型左边界厚度方向中点处.图4中左边“ × ”表示信号波形在厚度方向各节点处加载时会被该处节点的振型幅值所调制.在板的上表面删除部分单元，得到具有不同宽度、深度的矩形槽，以代表腐蚀.根据已有理论[15]，Lamb 波模态彼此正交，只有当边界条件改变时，一种模态的能量才会转移到另一种模态.如果将某一模态的振型施加在厚度方向上，理论上，板中只会产生该模态.激励信号选择Hanning 窗调制的周期数为20 的正弦信号，中心频率为1 000 kHz，借助中心模态技术[16]，按照1 000 kHz 的A1 模态振型（如图4 左下角所示）在板左边界的厚度方向上各单元节点处施加该信号，以生成主导的A1 模态，与实验中的情况基本相同.由于激励频带内的模态振型随频率略有变化，因此，结构中仍会存在少量的A0 和S0 模态.仿真中选用四节点平面应变四边形单元，在x和z方向上单元尺寸均为0.2 mm.时间步长为5 ns，以捕获接近A1 模态截止频率的Lamb 波响应信号.在距板左边界300 mm 处的上表面节点获取响应位移信号，以避免边界反射成分.矩形槽的深度取0.2、0.4、0.6 mm，宽度从6 mm 逐渐增加到36 mm，步长为6 mm.对每一种宽度、深度的组合进行时域仿真.记录上述一系列仿真中测点位置的响应信号，并根据式（11）计算所有情况下的FSDC 值.如图5所示，当槽深为0.2 mm 时，FSDC 值随槽宽近似单调递增.此时，A1 模态的低频部分被矩形槽阻挡，高频部分仍然可以穿过矩形槽，导致相干系数和FSDC值改变.槽宽越大，A1 模态发生的转换越显著.然而，当槽深达到0.4 mm 时，A1 模态在激励频带内几乎完全消失，如1.2 节所述.在测点位置接收到的信号是模态转换和残留基础模态叠加的结果.尽管FSDC 随槽宽、槽深之间的变化规律难以定量描述，但在上述情况下均能得到相对较大的FSDC 值，从而确保了腐蚀的可检测性.

图4 包含矩形槽的二维有限元模型（左边界施加1 000 kHz A1 模态的振型）Fig.4 Two-dimensional finite element model with a rectangular notch (applying A1 mode of 1 000 kHz to the left boundary)

图5 FSDC 随矩形槽宽度、深度的演化关系Fig.5 Evolution of FSDC with width and depth of rectangular notch

3 实验验证

在500 mm × 500 mm × 1.8 mm 的铝板上开展实验，验证基于A1 模态截止特性的腐蚀检测及成像效果.采用Innolas Spitlight 600-10 Nd: YAG 激光器激发宽带Lamb 波信号，Olympus C133-RM 超声探头接收响应信号，结合带通滤波，从宽带响应中提取窄带响应信号.借助铝板上下表面环形磁铁对的吸引，探头可以很好地通过甘油与铝板表面耦合，如图6 所示.Tektronix DPO-5054B 示波器用于记录探头接收到的响应，采样频率20 MHz，数据长度20 000个点.

图6 激光-超声系统实验设置Fig.6 Experimental setup for laser-ultrasonic system

在检测区域的板平面建立xOy平面直角坐标系，其中，坐标原点位于试件的中心，试件的实际边界距离检测区域边界100 mm.在试件上表面人工打磨出一个直径40 mm 的圆形凹坑区域，模拟腐蚀损伤.该区域的中心位于（0, 80 mm）处，最大深度为0.5 mm （位于区域中心），远离中心深度逐渐减小，最小剩余厚度为1.3 mm，相当于28%的厚度损失.如第2 节中所预测的，腐蚀深度越大，腐蚀被检测到的概率越高.

Lamb 波测试的扫查示意如图7 所示，图中：腐蚀区域以实心圆表示，蓝色线条为3 条典型的Lamb波传播路径；以L 开头的点表示激光光斑（激励点）的位置，而以P 开头的点表示探头（接收点）的位置.为了在重构效果与扫查时间之间实现折中，每边布置15 个激励/接收点，以完成损伤定位和成像的目的.换言之，有30 个点可作为激励点，另外30 个点可作为接收点.激励点位置扫查通过计算机控制两个步进电机带动平板在x和y两个正交方向上移动实现，接收点位置扫查通过手动移动探头实现，共记录450 个扫查波形.

图7 1.8 mm 铝板的扫查示意Fig.7 Layout of inspected aluminum plate with a thickness of 1.8 mm

3.1 频散补偿

假设激光器产生的输入信号是理想的单位脉冲函数，则原始采集信号h(t)可以被视为系统的单位脉冲响应，其傅里叶变换H(ω)是测试系统的传递函数，包括仪器、激励、接收以及激励与接收之间的频散传播.通常情况下，整个测试系统可以认为是线性系统，因此，提取的接收信号g(t)[17]为

如第2 节所述，将Hanning 窗调制的20 个周期正弦信号作为窄带输入信号，该信号的中心频率为1 000 kHz，带宽为[900, 1 100] kHz，略高于Al 模态的截止频率（878 kHz）.以路径L15—P10 为例（如图7 所示），激光光斑在L15（140 mm, 150 mm）处，而探头在P10（40 mm, -150 mm）处，名义传播距离为316.2 mm.图8（a）给出了路径L15—P10 提取的窄带响应信号.由于多个频散成分相互叠加，波形非常复杂，难以从时域提取所需的成分.为了反映其时频能量分布，图8（b）给出了该路径响应信号的短时傅里叶变换（25 μs 的高斯窗）时频谱图，以及计算得到的群延迟曲线（名义传播距离316.2 mm 除以理论群速度），A1 模态在1 000 kHz 左右能量占主导，并且该模态的理论波达时间与时频能量峰值基本重合，从而保证了A1 模态在截止频率附近足够的检测灵敏度.随后，对A1 模态进行频散补偿，结果如图8（c）所示，其中第1 个波包可以清楚地识别为直达A1 模态.

图8 健康路径L15—P10 提取的窄带响应信号Fig.8 Extracted narrow-band response signal from intact path L15—P10

3.2 FSDC 计算

步骤1提取A1 模态的窄带响应信号，其频带略高于A1 模态的截止频率；

步骤2通过线性映射方法对A1 模态进行频散补偿；

步骤3乘以合适的窗函数（以传播时间为中心），得到直达A1 模态；

步骤4计算补偿后的直达 A1 模态和输入信号的相干系数，进一步求得 FSDC.

健康路径L15—P10 的补偿信号如图9（a）所示.通过乘以合适的窗函数，可以滤除噪声，同时选择性地保留直达A1 模态，这是因为补偿后的直达A1 模态具有较好的时域聚集性.基础模态A0和S0 的干扰虽然无法完全排除，但其能量很弱，对结果影响较小.图中，虚线为经第i条路径的直达波以传播时间Ti为中心的Tukey 窗函数w（t），如式（13）.

图9 健康、损伤路径的补偿实验信号Fig.9 Compensated experimental signals of intact and damaged paths

式中：ΔT为总窗长，取25 μs，可以包含补偿后的直达A1 模态；α为下降段占总窗长的比值，取0.2；Ti=130.2 μs，即按照名义传播距离除以1 000 kHz 时A1 模态的群速度，再加上输入信号持续时间20 μs的一半计算.

窗函数在20 μs 时间范围内为1，在此区域外，窗函数在5 μs 时间范围内按正弦规律从1 逐渐下降至0.通过乘以该窗函数，可以从补偿信号中有效提取所需的直达A1 模态.对于远离腐蚀的健康路径L15—P10，所选窗内的FSDC 值为0.029 3.由于该值接近0，因此,可以判断该路径上没有腐蚀，为健康路径.

图9（b）给出了穿过腐蚀的损伤路径L07—P10 补偿信号.路径L07—P10 的传播时间计算为126.3 μs.如果激光光斑和探头之间的路径不穿过腐蚀，则窗函数内的波形应包含直达A1 模态.然而，实际并未观察到直达A1 模态，可以归因于厚度损失引起的强烈模态转换以及散射.图9(c)给出了健康路径L01—P10 的补偿信号，其中部分散射波包与直达波包发生了叠加.该路径的FSDC 值为0.131 9，介于健康路径与损伤路径之间.损伤路径L07—P10 的FSDC 值为0.456 1，远大于健康路径L15—P10 的FSDC 值0.029 3，与先前的假设一致，表明了腐蚀的存在.

3.3 基于FSDC 的概率成像

图10 给出了所有450 条路径的FSDC 值，其中超过80%（367 条）的路径FSDC 小于0.100 0，仅有几条路径FSDC 值较大，即为损伤路径.

图10 实验中所有路径的FSDC 值Fig.10 FSDC values for all paths in experiment

随后，检测区域被离散成均匀的像素点，所有路径均为连接激励、接收点的直线，则在第j个像素点处发生腐蚀的概率为

式中：N为路径总数；σ为标准差，取0.01；dij为从第j个像素点到第i条路径的距离；λi为第i条路径的损伤因子FSDC 值；式（14）中方括号内的项是概率成像算法中常用的概率密度函数[18].

Pj的值越大，表示该像素点处发生腐蚀的可能性越大.

将所有高斯分布函数加权的FSDC 相加，得到整个检测区域的概率成像结果，如图11 所示.图中，虚线圆为实际腐蚀区域边界，十字为最大值像素点.该成像结果以像素图的形式，覆盖300 mm × 300 mm的检测区域，每个像素点代表试件中边长为2 mm的正方形区域.可以观察到，图像中重构的异常区域与实际腐蚀具有较高的重合度，证明了方法的有效性和准确性.另一方面，由于更多的路径穿过腐蚀的下半部分，导致最大像素点 （2 mm, 68 mm）偏离实际腐蚀中心 （0, 80 mm）约12.2 mm.

图11 基于FSDC 的概率成像结果Fig.11 Image obtained from probability reconstruction based on FSDC

3.4 与传统层析成像方法对比

为了凸显所提方法的优势，将其与基于波包飞行时间的Lamb 波层析成像方法进行对比.由于800 kHz 附近的S0 模态能量足够高，群速度在几个模态中最大，且频散足够严重，因此，选择其作为对比实验的工作点.

将汉明窗调制的20 个周期数的正弦信号作为窄带输入信号，中心频率为800 kHz，根据式（12）从宽带响应信号中提取窄带响应信号.其中，ToF 取直达S0 波包的包络峰值所对应的时刻.采用同步迭代重构技术（simultaneous iterative reconstruction technique，SIRT）重构腐蚀区域.每次迭代中，首先计算所有射线的更新值，然后，同时更新所有像素点的慢度值[19-20].图12 给出了基于ToF 的SIRT 重构结果，即慢度（速度倒数）图.

图12 基于ToF 的层析成像Fig.12 ToF-based tomographic image

对于800 kHz 附近的S0 模态，厚度损失导致该区域的S0 模态群速度增大，慢度值减小.然而，在重构的慢度图中，几乎无法观察到腐蚀区域.对于该结果，可以从以下方面进行解释：1） 在实验中，探头和激光光斑的尺寸不可忽略，因而难以准确估计传播路径的长度；2） 厚度损失导致的ToF 变化量通常很小，使得重构结果受传播路径长度误差的影响更大.总体而言，本文提出的方法对厚度损伤具有较高的灵敏度，能够抗拒路径长度误差等因素的干扰，实现腐蚀损伤的准确定位.

4 结 论

1） 本文根据靠近截止频率的高阶Lamb 波模态对厚度损失的高敏感性，提出了表征腐蚀损伤的FSDC指标.在结构健康状态下，补偿信号与输入信号完全相干，FSDC 为0；腐蚀损伤发生后，截止频率附近的高阶模态发生散射或模态转换，相干系数显著下降，产生较大的FSDC 值.

2） 利用有限元仿真分析了FSDC 随槽宽、槽深之间的变化规律，验证了FSDC 对腐蚀损伤检测的敏感性和有效性.

3） 将FSDC 指标与概率成像算法结合，实现了腐蚀损伤的准确定位.通过与传统层析成像方法的结果对比可以发现，本文所提方法比传统层析具备更好的腐蚀检测灵敏度和抗干扰能力.