问题引领探究,提升教学价值
——以一道“等比数列的应用”例题教学为例

浙江省杭州市余杭高级中学 林 威

普通高中教学课程标准提出:“教学中,教师需根据学生的实际情况与教学内容的特点,设计逐层深入的问题,激起学生的认知冲突,产生探究行为.”可见,问题是引发学生产生探究意识的基础,探究意识往往萌生于问题的提出,随着问题的引导,学生会不由自主地产生动手、合作、探究与思考的行为.

“等比数列的应用”对学生来说既熟悉又陌生,熟悉是因为在日常生活中,常听说的分期付款类问题与等比数列的应用有着密切的联系;陌生是因为虽然听说,却不太清楚其具体内容与计算规则.为了有效地激发学生对这部分知识的探究兴趣,笔者以一道例题教学为例,具体谈谈如何利用问题来引领探究,提升教学价值.

1 教学过程

问题情境小刚爸爸在九年前买了一套万科的住房,当时跟农业银行贷款10万元,期限为10年,当时的月利率只有0.2%,小刚爸爸选择了等额均还的还款方式,即从放款月起,每个月还款金额相同,复利计算,第120个月还清所有的本金加利息.请你算算,这些年,小刚爸爸每个月还多少钱?

分析：这是一个生活中常见的问题,很多学生家长都在还房贷,但鲜少有学生知道家长具体贷款金额、贷款时限,以及每月还款数额.教师将这个常见的生活问题搬到课堂中,不仅增加了学生对数学知识的探究兴趣,还有效地提高了学生的生活能力,为增强学生的数学素养奠定基础.

师:随着市场经济的快速发展,房贷、车贷等分期付款成了受大众认可的一种消费方式,这种消费形式具有什么特点呢?分期付款的每一期该支付多少钱呢?这是我们本节课将要探讨的问题.

设计意图：从问题的提出到教师的陈述,学生很快就明确了本节课的教学目标,同时也对这个问题情境产生了探究欲.

问题1请大家说说对“等额均还”的理解.

生1:就是每一期所还款的金额相等.

问题2这里涉及到“均还”这个词,你们对该词是怎么理解的?

生2:应该是所贷款的本金,加上利息的总和,再除以待归还的总期数,就是每一期要还款的数额.

问题3大家算算,若贷款p万元,贷款10年,所产生的利息加上本金,一共是多少?(月利率为r.)

(独立思考+小组合作学习)

学生在独立思考的基础上,展开小组合作,并获得以下结论(见表1).

表1

问题4如果我们是消费者,看看这种还款方式合理吗?说说你们的理由.

设计意图：此问的提出是为了激起学生的认知冲突,让学生对此产生思考,引导学生在独立思考的基础上进行合作交流,以对知识产生更加深刻的认识.

生3:这种情况下要是提前还款,付给银行的利息就多了.

生4:对呀!按照常理来说,提前还款利息应该也相应的减少.

生5:将贷款本金加上所有利息,再除以还款期数,对消费者来说,一点都不划算.

师:你们分析得有点道理.

问题5如果每个月存进银行的还款金额为x万元,贷款到期一共打给银行多少万元?

依然运用独立思考与合作交流相结合的方式进行探究.经讨论,学生获得以下结论(见表2).

表2

设计意图：此问题与之前所呈现的“本利和”的问题高度相似,本利到底是表格的最后一项还是所有项之和呢?

笔者依然选择让学生采用自主辨析、讨论的模式去探究.结果为“所有项之和”胜出.

问题6观察表1和表2,我们一起来分析下贷款到期时所还的本利,与每个月进行还款直到到期还清所产生的本利之间的关系.

随着问题的逐层深入,学生的思维越来越清晰.笔者还没开口,有一部分学生就猜想出教师接下来会问什么问题了.

问题7小刚爸爸每个月需要向银行还款的金额是多少?

根据以上分析结论,学生很快就列出以下式子,并得出如下解答.

解：假设小刚爸爸每个月的还款金额为x万元,则可列式为10(0.2%+1)120=x(0.2%+1)119+x(0.2+1)118+……+x,解得x≈0.093 815,即每个月还款金额为938.15元.

为了帮助学生理清思路,笔者带领学生一起总结这种分期还款的特征,作以下提示:①还款利息按照复利的方式计算;②每一期支付给银行的还款金额是相等的;③在此过程中,每期所支付的还款与贷款都会产生相应的利息;④到期的本息之和与各期所还款直到还清时的本息之和相等.

随着教师的引导,学生快速建立了相应的知识体系,并找出了其中蕴含的内在规律.

问题8假设贷款金额为a元,贷款期数为m个月,月利率是r,采用等额均还的还款方式,每个月需还款的金额是多少?

这是典型的知识迁移,即引导学生根据分期付款的特点,进行规律的探索.

因为有前面情境问题的探究过程作为铺垫,学生在解决此问时,又快又准.此时,教师可趁热打铁,提出:谈谈你们在本节课的收获.

设计意图：此问的提出是为了培养学生的反思能力,良好的反思习惯能让学生在学习的道路上更加顺畅.大部分学生在反思中,谈到了自己在知识上的收获,同时肯定了这部分知识对生活的帮助.通过反思,再次强调了数学与生活是相辅相成、互相促进的关系.

通过一个个问题的引导,学生亲历观察与探索的模式,在合作交流中突破了本节课的重点与难点.这种问题引领探究的教学过程,不仅符合学生心理发展的规律,带给学生因自主探究而获得成功的愉悦感,还能有效地增强学生的自信心,获得更多的学习兴趣与动力.

2 教学感悟

2.1 遵循思维发展规律,循序渐进积极引导

纵观本节课的教学过程,独立思考、合作交流以及自主探究贯穿于课堂始终,学生的思维随着一个个问题的引领,拾级而上,呈螺旋状上升.此教学过程告诉我们,学生的思维需要的是点拨与引导,绝非控制.学生作为具有独立思维的个体,需要教师给予更多的鼓励与引导,以及时发现问题、自我矫正,获得进步.

2.2 把握合作交流时机,提升课堂教学价值

合作交流是培养学生参与、合作与竞争的重要手段,学生在和谐的氛围中,共同探讨、交流,不仅能查漏补缺,发现自我认知的不足,还能形成良好的思维品质与人际关系[3].因此,精心设计问题,能使得课堂教学变得更具价值,尤其是位于知识生长点或难点处的问题,能有效地激发学生的思维,让各个层次的学生都获得一定的提高.

总之,以问题引领学生产生探究意识,形成探究行为,是促进学生全面发展的重要手段.提出问题的时机、质量等,决定了探究的效果.因此,教师要尽可能地优化教学过程,创设更多、更合理的问题引发学生的探究,使得每个学生都成为“五育”并举的现代化人才.