农村中学如何运用生活语言来助力函数概念教学

浙江省杭州市长河高级中学 邹泗勇 浙江省桐庐市分水高级中学 周延强

数学语言是以数学符号为主要表述形式,以数学公式、定理、公理等为语法规则构成的一种科学语言,包括符号语言、图形语言、自然语言.其中,符号语言是数学的核心语言.高中数学课程标准提出要培养学生数学核心素养,史宁中教授更是直接指出,数学课程要培养学生三个方面的素养,即“会用数学的眼光观察世界,会用数学的思维思考世界,会用数学的语言表达世界”.

由于符号本身具有高度的抽象性和历史跨越性,要让学生短时间内理解这个符号表达的意思,确实有点强人所难.因此,怎样让学生理解高度抽象的数学符号,建构起自己的知识体系,是摆在教师面前一个亟待解决的问题.

面对这个客观存在的事实,教师应该多渠道、多手段地运用一些载体,用生动、形象的语言进行讲解,帮助他们掌握基础知识,增强学习兴趣.为此,我们在教学中用一种更加直观、更加贴近生活的语言(我们姑且称之为“生活语言”)帮助学生轻松理解数学符号的含义,搞清问题的本质,牢固掌握解题方法.

1 在“三个二次”的教学中用“海平面”代替x轴

新教材在“一元二次函数、方程和不等式”这章把三个二次放在一起,是为了让学生形成一个完整概念.但是,农村中学基础薄弱的学生(这样的学生占比很高),很难具备统一看待三者的能力,特别是一元二次不等式和一元二次方程,受初中数学思维定式的影响,他们不理解y>0到底是哪一部分,不知道把“纵”的性质(y>0)转化为“横”的关系(与根的关系),分不清为什么y>0与方程的根有关,很难形成一种x与y的关联认知.在这里,引进一些生活语言,却很容易化解这个问题.

笔者在“三个二次”的教学中,在描点画二次函数的图象时,特别把坐标系的x轴画成了海平面.如图1,海平面以上,就是见得到阳光的部分,见得到阳光就是有正能量,就是y是正的部分,即y>0的部分;海平面以下见不到阳光,就是阴暗部分,就是负面部分,即y<0的部分.出入海平面的位置就是方程的根.这样,通过一个生活概念,把找横坐标变成一个生活中的找位置问题,学生很容易把方程的根和不等式的解集联系起来.这样的生活语言,贴近学生的生活实际,容易从学生的“最近发展区”去讲解好“三个二次”的关系.

图1

2 运用方框求解函数的定义域、解析式

A.[-1,2 021] B.[-1,1)∪(1,2 021]

C.[0,2 022] D.[-1,1)∪(1,2 022]

这个题目,在农村中学,如果没有恰当的“讲法”,也许学生会被你越说越糊涂,甚至你怎么说学生也不理解.要让学生听明白这个题目,可以利用一些生活语言,抓住如下两个关键:

(1)定义域是针对x的,不是针对f;

故选答案:D.

函数的定义域抽象性很高,学生理解不易,而通过引进“方框”,学生理解起来就简单多了.

(2)若f(f(m))≤2,求实数m的取值范围.

本例对于农村中学普高的高一学生还是有难度的.在讲解时,可以顺着分段函数的特点,每段都是一个小函数,把题目分解开来讲解.

图2

图3

图4

图5

方框的本质是换元,但它理解起来比换元直观,因为它可以把换元的思想直接变成填空.这样,学生理解起来就比较容易,否则就很难达到方框所带来的效果.

例3已知f(x)=x2+2x+a,求使f(f(x))>0恒成立的实数a的范围.

即f(x)>0在x∈[a-1,+∞)时恒成立.

3 用滚球的方法解决单调性问题

分析：此题不仅要满足第一段与第二段都是增函数,还要满足第二段的左端点低于第一段的右端点.

由第一段单调递增,可得对称轴x=a≥1.

对于“左端点低于右端点”,学生不易理解.学生很难从上下分段转化到左右关系.此时,若说成让一个小球能从右边顺利地滚下,就是增函数,化符号为位置,学生就能自然理解“左端点低于右端点”所表达的意思,如图6.

图6

所以-1+2a≤(2a-1)-3a+6,解得a≤2.

综上,可得1≤a≤2.故选:B.

农村中学的普高学生,经过层层选拔,剩下的生源学习习惯差,基础薄弱,听课效率低下,理解能力弱,有些中考只能考50～60分.面对这样的生源,作为教师,对有些概念的教学也必须独辟蹊径,闯出一条路来.用上一些恰当的“生活语言”,就能够化繁为简,化抽象为具体,让学生很容易转换维度理解,相对轻松地完成教学任务.当然,生活语言有一定的不严谨性,作为教师要清楚这一点,时机成熟时一定要转化成标准的数学符号语言.