一类圆锥曲线问题的巧解

邵建文

［摘  要］ 圆锥曲线在数学高考中占据着重要地位，其中直线与圆锥曲线的位置关系更是热门考点.恰当地使用直线的参数方程，能简单解决一类圆錐曲线问题，可以说“别有一番滋味”.

［关键词］ 圆锥曲线；直线；参数方程

考题再现

点评 若本题采用传统的联立直线与双曲线的方程，得到关于x的一元二次方程后计算各段弦长，运算量较大，很多学生会望而却步. 这里笔者用的是直线的参数方程，借助参数t的几何意义，巧妙化解了计算各段弦长的复杂性. 另外，笔者注意到题干条件“点T在直线x=上”是多余的，之所以加上这个条件也许是为了降低题目的难度，减少一定的计算量.

从上面的解答过程来看，本题的结论是否具有一般性，能否推广到椭圆和抛物线中呢？

考题拓广

点评 探究发现若过点T的这两条直线的斜率均存在且不为零时，上述结论仍然成立. 与此同时，本文放宽了对直线x=m的限制，但要引起注意的是若点T在椭圆内部，则TA·TB=-tt.

探究2 已知抛物线C：y2=2px（p>0），设点T在直线x=m上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且TA·TB=TP·TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

α=β（舍去）或α+β=π，于是k+k=tanα+tanβ=0.

点评 通过探究发现，该结论在抛物线中仍然适用. 笔者还注意到，若点A，B重合，点P，Q重合，可得阿基米德三角形，能推出更多有用的性质结论.

经过探究1、探究2可得结论：过已知直线上一点T作圆锥曲线C的两条割线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且满足TA·TB=TP·TQ，则这两条割线的斜率之和为零.

进一步，可得更一般的结论：已知C是对称轴与坐标轴方向平行或垂直的非圆二次曲线，A，B，P，Q是曲线C上不同的四点，直线AB与PQ相交且斜率均存在，则A，B，P，Q四点共圆的充要条件是直线AB与PQ的斜率之和为零.