立体几何中的运动问题

■江苏省灌南高级中学 王 宇

立体几何中的运动问题,以空间几何体为场景依托,渗透入点、直线、平面、空间角、空间距离等的运动变化情况,“动”与“静”结合,内涵深远丰富,融合三维空间的想象能力,交汇逻辑推理能力等,问题综合性强,灵活度高,创新新颖,可以在很大程度上优化并改善同学们的思维定式,优化数学品质,越来越受到新高考数学命题者的青睐,希望能引起同学们的重视。

一、动点轨迹问题

立体几何中的动点轨迹问题,立足于立体几何与解析几何知识的交汇,依托立体几何的结构特征,结合动点所满足的条件在空间中确定其相应的变化与轨迹情况,实现空间图形与平面图形之间的合理转化。

例1如图1,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P为正方形A1B1C1D1内的动点,满足直线BP与下底面ABCD所成角为60°的点P的轨迹长度为____。

图1

分析：根据题设条件,从几何视角切入,结合立体几何中的性质,在合理转化直线与平面所成角的基础上,转化为对应平面角问题,进而在相应平面内确定动点的轨迹问题。解决问题时,联系平面几何与立体几何,结合逻辑推理与空间想象得以确定对应的动点轨迹,成为问题解决中最重要的一个环节,再结合动点轨迹的图形特征来进一步分析与求解。

解：根据题意,直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面A1B1C1D1所成角,连接B1P,因为BB1⊥ 平面A1B1C1D1,PB1⊂A1B1C1D1,所以BB1⊥PB1,故∠BPB1为直线BP与上底面A1B1C1D1所成角,则有∠BPB1=60°。而BB1=1,所以,故点P的轨迹是以B1为圆心,为半径,位于平面A1B1C1D1内的圆的,故所求轨迹长度为l。

点评:在解决涉及此类动点轨迹的综合应用问题中,确定立体几何中对应动点的轨迹是破解问题的关键。灵活掌握立体几何的结构特征与基本知识是确定动点轨迹的前提条件,同时还要结合问题场景,渗透空间想象能力与逻辑推理能力等。

二、展开还原问题

立体几何中的展开还原问题,由立体几何的直观图形入手加以合理展开,结合展开后的平面图形的结构特征,还原立体几何中的点、直线、平面、角度及距离等的关系,进行三维与二维空间之间的转化与联系。

例2足球起源于中国东周时期的齐国,当时把足球称为“蹴鞠”。汉代蹴鞠是训练士兵的手段,制定了较为完备的体制。如专门设置了球场,规定为东西方向的长方形,两端各设六个对称的“鞠域”,也称“鞠室”,各由一人把守。比赛分为两队,互有攻守,以踢进对方鞠室的次数决定胜负。1970 年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计,所以每一次球的外观都不同,拼块的数目如同掷骰子一样没准。自1970年起,世界杯官方用球选择了三十二面体形状的足球,沿用至今。如图2,三十二面体足球的面由边长相等的12块正五边形和20块正六边形拼接而成,形成一个近似的球体。现用边长为4.5 cm 的上述正五边形和正六边形所围成的三十二面体的外接球作为足球,大圆圆周的展开图可近似看成是由4 个正六边形、4 个正五边形及2条正六边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段AA',如图3,则该足球的体积约为( )。

图2

图3

A.5 794.61 cm3B.2 847.66 cm3

C.1 518.75 cm3D.1 488.85 cm3

分析：根据题设条件,由立体图形入手,通过展开的平面图形的形状与特征,合理确定对应边与角的大小,利用余弦定理和周长公式等来确定球的半径,进而利用球的体积公式来分析与求解。

解：如图4所示,在正五边形中,内角为108°,边长为4.5,利用余弦定理可得AC2=4.52+4.52-2×4.5×4.5×cos 108°≈53.02,所以AB2=AC2-BC2≈48,解得。在正六边形中,内角为120°,边长为4.5,所以大圆的周长为67.89。设球的半径为R,则2πR=67.89,解得,所以该球的体积。故选A。

图4

点评:抓住立体几何与平面几何这两个不同知识点间的联系,借助空间几何体的合理展开及平面几何图形的确定,结合平面图形的结构特征,从而合理构建平面几何中对应的边长、角度等元素数据,合理还原空间几何体的结构形状,构建两者之间的联系与对应关系,借助数形结合思想,进行必要的空间想象与逻辑推理等。

三、翻折变化问题

立体几何中的翻折变化问题,主要是依托平面图形或空间图形中的某个面等沿着某一确定的直线(或线段)翻折,形成相应的立体几何图形,进而研究立体几何图形在翻折过程中对应点、线、面、角等关系的变化规律,进行合理的探究与创新应用。

例3如图5,已知矩形ABCD的对角线交于点E,AB=x,BC=1,将△ABD沿BD翻折,若在翻折过程中存在某个位置,使得AB⊥CE,则正实数x的取值范围是_____。

分析：根据题设条件,从整体思维视角切入,利用△ABD在沿着BD翻折的过程中,对应点在底面上的射影轨迹的分析与确定,进而利用立体几何中的三垂线定理、直角三角形的性质及三角函数关系来构建不等式与关系式,进而得以确定相应变量的取值范围问题。

解：依题意,在将△ABD沿BD翻折的过程中,记点A在底面BCD上的射影轨迹为AA0,连接BA0,如图6。根据三垂线定理,若AB⊥CE,则AB在底面BCD上的射影A1B⊥CE(其中点A1在线段AA0上)。记∠EBA1=α,∠BAE=∠ABE=∠EBA0=β,则α≤β。结合A1B⊥CE,可得,则知α+2β,解得0＜x≤3,所以x的取值范围为。故填。

图6

点评:利用平面图形翻折变化的关系与规律,借助整体思维视角切入,从立体几何中“形”的变化视角,基于射影的基本性质与平面图形翻折过程中的变化规律,合理空间想象与数形结合,利用直观形象加以分析与处理。

四、图形组合问题

立体几何中的图形组合问题,结合不同空间图形的堆积、叠加等运动变化,构建相关立体图形的组合特征,并明确各相关简单立体图形之间的位置关系,构建边长、角度等元素之间的联系,为合理的空间想象与逻辑推理奠定基础。

例4在日常生活中,石子是我们经常见到的材料,我们常常会在建筑工地或者建材市场上看到堆积如山的石子,某种石子的主要成分是碳酸钙,也叫石灰石。某雕刻师计划在底面边长为2 m,高为4 m 的正四棱柱形的石料ABCD-A1B1C1D1中,雕出一个四棱锥O-ABCD和球M的组合体,如图7,其中O为正四棱柱的中心,当球的半径r最大时,该雕刻师需去除的石料约重____kg。(其中π≈3.14,石料的密度ρ=2.4 g/cm3,质量m=ρV)

图7

分析：根据题设条件,利用正四棱柱、四棱锥与球之间的组合图形特征与关系,有效确定各空间几何图形中相应的边长等元素的数值,进而利用空间几何体的体积公式,并结合石料的质量公式加以数学运算。

解：依题意,正四棱柱的体积V1=22×4=16(m3)。四棱锥O-ABCD的底面为正方形,高h=2,其体积。球M的半径r最大为1,此时其体积)。故该雕刻师需去除的石料的体积。又ρ=2.4 g/cm3=2 400 kg/m3,则该雕刻师需去除的石料约重。故填21 952。

点评:在处理立体几何中的图形组合问题,通过运动变化的情况确定图形之间的关系,是解决问题的前提,也为进一步深入逻辑推理与数学运算提供条件。有时还要结合实际问题,通过空间想象,对不同的立体几何的图形组合加以分类讨论。

立体几何中的运动问题,以创新面孔展示在同学们面前,使得静态数学动态化,让平面图形“立”起来,以立体几何中的重要知识为骨干,合理渗透其他相关的数学知识,融入对应的数学思想方法和数学能力等。此类问题的创设更加创新新颖,可以合理调动立体几何问题中“动”与“静”的联系与变化,实现平面几何、立体几何、函数、方程等不同知识体系间的交汇融合,在此基础上提升数学解题能力与数学应用能力,从而合理拓展数学基础知识,发散数学思维,提升数学能力,培养核心素养。