例析数列不等式放缩的处理途径

白亚军

(甘肃省永昌县第一高级中学,甘肃 金昌 737200)

熟记一些常见的放缩结论,掌握一些常见的放缩技巧很重要.在放缩过程中经常用到的方法有:积分(函数法)放缩、裂项放缩、对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、等比放缩等.

1 积分放缩

2 函数放缩

评注函数法即构造函数,利用函数单调性进行放缩.记住基本结论:lnx≤x-1⟺ln(1+x)≤x.

3 对偶放缩

①

②

4 裂项放缩

4.1 分母整式型裂项

4.2 分母根式型裂项

5 等比放缩

6 分类放缩

当n为偶数时,不妨设n=2k,k∈N*,则

当n为奇数时,不妨设n=2k+1,k∈N*,同理可证.

7 二项式定理放缩

评注基本结论:①2n>2n+1(n≥3);②2n>n2+n+2(n≥5);③3n≥2n2+1(n≥2).

8 利用已证结论放缩

例9已知函数f(x)=ex-(x+1)ln(x+1)-1.

(1)当x>0时,证明:f(x)>0;

解析(1)由题意得f′(x)=ex-ln(x+1)-1,

设g(x)=ex-ln(x+1)-1,则

当x>0时,ex>1,x+1>1,则ex(x+1)>1.

从而g′(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.故g(x)>g(0)=0.即f′(x)>0.所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.

所以当x>0时,f(x)>f(0)=0,即f(x)>0.

(2)由(1)知:当x>0时,

f(x)=ex-(x+1)ln(x+1)-1>0,

所以a1+a2+…+an>ln(n+1).