立足解析几何本质,拾级而上提升素养
——2023年高考数学全国乙卷解析几何试题的评析和建议

■江西师范大学附属中学 陈选明

2023年高考数学全国乙卷对解析几何部分主要考查了直线、圆和三类圆锥曲线内容,实现了对基础知识的全方位覆盖。试题虽然看似平和,却极具思维含量,真正体现了求解入口宽,思路多样,突出通性通法等特点,真实反映考生的基础理解水平,在“反刷题”“反套路”上下功夫,抑制“秒杀”,不提倡一知半解所谓的“高观点”。突出强调对基本概念和基本方法的深入理解和灵活掌握,注重考查学科知识的综合应用能力。问题设置了合理的思维强度,在解决问题时设置合适的运算过程和运算量,下面从试题的考查形式进行评析。

一、直线与圆：回归圆心,注重考查圆的几何性质

高考试题一般不会单独考查圆,往往都是结合直线、椭圆等,这类试题的难度为中低档。对于涉及圆的问题,只要从圆心出发思考问题,回归圆心基本上都是可行的,也是最好的视角,正所谓“圆不离心”。

例1(2023 年全国乙卷理科第12题)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点,若的最大值为( )。

解析：由题意知,|OA|=1,,所以∠APO=45°。

故选A。

点评:本题将直线与圆的位置关系和平面向量有机地进行结合,同学们可以从向量数量积的概念、几何意义、坐标表示等多种角度进行思考,命题人对这三种角度的难度做了比较有梯度的设置,用基本概念法需要同学们对三角函数的知识运用熟练;用几何意义法需要同学们有一定的平面几何推理能力;用坐标表示法需要同学们有较高的数学运算与逻辑推理能力。该题全面考查了向量的基本概念、向量的数量积运算、三角的恒等变形及最值、圆的几何性质等,深入考查了化归与转化思想,以及同学们思维的灵活性与创新性。

二、圆锥曲线客观题：回归概念与性质,注重考查平面图形的几何特征

概念反映了数学对象的本质特征,如椭圆、双曲线和抛物线的概念刻画了相应几何对象必须满足最典型的数量关系。首先,理解概念就是理解一个数学问题的基础,如果不理解概念,解题就无从谈起。其次,解析几何的对象是形,虽然解析几何是用代数方法研究“形”的性质,但是其本身“形”的特征还是要充分尊重的,特别是客观题“重概念考性质”的特点更加决定了该类题的求解还是要从概念和性质出发,尽量减少运算。

例2(2023 年全国乙卷理科第11题)设A,B为双曲线上两点,则下列四个点中,可以作为线段AB的中点的是( )。

A.(1,1) B.(-1,2)

C.(1,3) D.(-1,-4)

对于选项A:可得kOM=1,kAB=9,则AB:y=9x-8,联立消去y整理得72x2-2×72x+73=0,此时Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288＜0,所以直线AB与双曲线没有交点,所以A 错误;

对于选项C:可得kOM=3,kAB=3,则直线AB:y=3x,由双曲线方程可得a=1,b=3,则直线AB:y=3x为双曲线的渐近线,所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误;

故选D。

点评:本题涉及中点弦问题,解答思路为先求出以选项中的点为中点的直线AB的方程,再检验所求直线的方程与双曲线是否相交,若相交,则符合条件。解答本题需要逆向思维,对同学们有一定的挑战性,需熟练掌握“点差法”、数形结合法,以及常用结论kAB·kOM=e2-1,在小题中利用一些常用结论,结合选择支验证可避免小题大做。

三、解析几何解答题：优化解题路径,减少解析几何题的运算量

解决解析几何大题最头疼的无疑就是运算。解析几何就是用代数的方法研究几何问题,在这个过程中要经历文字信息、图形特征和符号语言之间的多重转换,大多数同学会遇到“不知如何下手”“运算烦琐,算不下去”等问题,他们往往对图形的整体认识不够全面,对图形与图形、图形与数量的关系把握不到位,找不到解题方法。

解析几何的研究方法主要是代数方法,“算”是必须的,解答题的目标定位之一就是考查运算能力。优化运算需要从问题转化与运算途径两个方面进行,将几何问题翻译为代数问题,充分利用几何性质,从而减少运算。代数方法具体体现为运用方程的观点与方法处理问题,运算对象大多是建立在方程的基础上,因此“方程”是求解解析几何问题的一个“数学原点”,深入理解方程及其相关算理,是破除解析几何中运算障碍的一条可行且有效的途径。同学们在解题过程中大多习惯于联立方程,然后利用判别式、韦达定理,最后整体代入,但是一旦关系式过于复杂就可能半途而废。因此,同学们不仅要能熟练运用韦达定理,更要在细节上下功夫,从而优化运算,收到“化平庸为神奇”的效果。

例3(2023 年全国乙卷理科第20题)已知椭圆的离心率是,点A-2,0（ ）在椭圆C上。

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点(-2,3)的直线交椭圆C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点。

所以线段MN的中点为定点(0,3)。

点评:本题考查的是调和线束的一个性质,即平行线被调和线束平分。当然同学们在考场中也可以用极限的观点先猜测出定点,再证明即可! 这道解析几何很常规,虽然说是极点极线背景下的问题,却没有落入套路,需要老老实实运算,考查了解析几何的基本思想和基本方法,对同学们的运算能力要求很高。定点问题作为高考的热点,有很多好的方法和性质值得探究。

通过对以上考题的分析我们可以看到,对于解析几何部分的复习,我们必须回归教材,充分认识解析几何学习的本质,重视对基本概念和几何性质的学习,深化对基本知识与思想方法的理解。回归试题的原点,充分尊重问题的“个性特征”,进一步展示具体问题具体分析,体现灵活性。回归同学们学习的原点,掌握问题的通性通法是根本出发点,可以更好地促进同学们的思维提升,全面提升同学们的核心素养。