探究性创设情境,存在性问题解决
——圆锥曲线

■福建省尤溪第一中学 周 平

探究性问题是一种古老的题型,对被测试对象的潜能及创新能力的考查具有独特之处,虽历经沧桑,但经久不衰,是试题类型的一颗常青树;无论是何种类型、何种层次的考试,探究性问题总是备受命题者的青睐。圆锥曲线中的探究性问题经常以点的存在性、直线的存在性及参数的存在性等方式创新设置,借助是否存在的判断来考查。解决的方法往往是把探究性问题转化为直线与圆锥曲线的位置关系等,再加以巧妙地转化与应用。

一、点的存在性问题

例1已知双曲线0,b＞0)的离心率为,点A(6,4)在双曲线C上。

(1)求双曲线C的标准方程。

(2)已知过点B(1,0)的直线l与双曲线C交于D,E两点,试问:在x轴上是否存在定点P,使得为常数? 若存在,求出点P的坐标及该常数的值;若不存在,请说明理由。

点评:在处理此类点的存在性探究问题时,经常是借助题设条件设出该点的坐标,假设所探究的问题存在,进而将该点的坐标作为“已知”代入题设条件中去推理、去运算,如果推理或运算的结果得到的是一个确定的答案,这就说明假设成立,由此作出正面的回答;如果推理或运算的结果得到的是一个矛盾的结果,这就说明假设不成立,由此作出反面的回答。结合题中信息,通过点的结构特征,合理设出点的坐标是解题的关键所在。

二、直线的存在性问题

例2已知双曲线Γ。

解析：(1)由,又a2+b2=c2,得b2=4,所以b=2。

因为a=1,所以双曲线Γ的顶点坐标为(±1,0),渐近线方程为y=±2x。

假设存在被点M(1,1)平分的弦,设弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2。

因为A,B在双曲线Γ上,所以=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)=。

代入双曲线Γ的方程得20x2-40x+21=0,因为Δ=402-4×20×21=-80＜0,故AB与双曲线Γ无交点,假设不成立。

故不存在被点M(1,1)平分的弦。

点评:在解决一些圆锥曲线中的探究性问题时,对于结论不存在的探究,往往可以假设其结论的存在性,通过合理的逻辑推理与数学运算,产生一些矛盾的结果,进而判断结论不存在。以上问题中利用满足条件的弦所在的直线与双曲线没有交点,由此可以判断满足条件的弦不存在。

三、参数的存在性问题

例3已知F1,F2分别是双曲线C:的左焦点和右焦点,A(-1,0)是左顶点,且双曲线C的离心率e=2。设过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于P,Q两点,其中点P位于第一象限。

(1)求双曲线C的方程。

(2)是否存在常数λ,使得∠AF2P=λ∠PAF2恒成立? 若存在,求出常数λ的值;若不存在,请说明理由。

解析：(1)由题意知a=1,因为2,所以c=2。

由a2+b2=c2,可得,所以双曲线C的方程为。

(2)当直线l的方程为x=2,即直线l的斜率不存在时,解得P(2,3),数形结合可知此时△AF2P为等腰直角三角形,其中,即∠AF2P=2∠PAF2,所以λ=2。

下面证明:关系式∠AF2P=2∠PAF2对直线l的斜率存在时的情形也成立。

所以存在λ=2,使得∠AF2P=λ∠PAF2恒成立。

点评:在解决此类探究性问题时,经常要借助探究方向的转化来确定目的,其主要是将所探究的问题转化为其他明确的问题,使所探究的问题更加具体、易求。特别地,在圆锥曲线问题中,对于角度、垂直等相关问题的探究,一般可以转化为直线的斜率、向量的数量积等情况来研究。

其实,涉及圆锥曲线中的探究性问题,经常有肯定型、否定型、探索型等,形式各样,探究的本质不变。对于圆锥曲线中的探究性问题,往往可以根据相关的类型加以转化,借助相关元素的存在性加以化归,利用圆锥曲线的相关知识及曲线间的位置关系等来加以解决。