基于局域共振理论的双层筋板带隙研究

邓微，李瑞荣，陈晓宏，刘佳

（广州铁路职业技术学院，广东 广州 518000）

声子晶体大致可分为Bragg 和局域共振声子晶体2种不同结构形式，在有限的空间里，要在低频段产生带隙，通过局域共振结构带隙产生的机理，小于波长2 个数量级的周期性结构也能在低频段产生带隙即“小尺寸控制大波长”。本文通过在双层筋板形式上敷设周期性排列的等效“质量-弹簧”系统的局域共振子，获取较低的带隙起始频率和较宽的带隙绝对宽度，从而对500Hz 下的低频振动及噪声进行控制。

1 附加周期性局域振子对筋板减振影响

为研究双层筋板上添加局域共振子对低频振动特性的影响，首先要建立合适的双层筋板模型。

1.1 双层筋板参数及模型

根据上文分析，建立合适尺寸的双层板结构，设置的标准的外地板板件尺寸为长×宽1200×900(mm)，如表1。

外地板双层板的材料参数如表2。

表2 试件材料参数

结构模型如图1，可以看作通过单个三角单元在x方向上周期性延伸成夹筋板结构，其满足声子晶体一维周期性，和一维梁杆结构类似。有关研究证明其在1000Hz 以上中高频段存在Bragg 带隙，然而，在低频段弹性波在薄板结构内呈周期性传播，结构内部的弯曲波得不到很好的抑制。

图1 铝合金型材几何结构模型

1.2 周期性局域共振双层筋板分析

本小节尝试将共振子添加到外地板上探究其减振效果和色散带宽。根据上节设置的标准试件的外地板板件尺寸为长×宽1200×900(mm)，假定晶格常数边长为300mm 的二维壳单元筋板结构，结构参数如表3。

表3 单原胞筋板结构参数

局域共振子模型结构参数为软体层A（橡胶阻尼块）半径AR=0.075m,厚度AH 为0.01m，质量体B 半径BR=0.075m,厚度BH=0.01m，局域共振子材料参数，如表4。

表4 局域共振原胞材料参数

在以双层筋板单元为正方晶格的上面板附加局域共振子形成新的原胞，如图2。

图2 局域共振单振子结构图

2 弹性波带隙计算

通过相对选择有限元法对声子晶体的带隙特性进行研究。只需对声子晶体原胞结构进行参数设置、网格划分施加相应边界条件对结构进行后处理就能得到特征频率和波矢之间的能带关系图。

2.1 有限元法及Bloch 原理

对一维周期的有限元法求解，特征值方程如式（1）：

式中，K、M 分别为一维周期振子结构的刚度、质量矩阵，U 为原胞结构的特征向量，ω为角频率。

由图2 单振子局域振子图知，其在x 方向存在一维周期性，不可约布里渊区，如图3。

图3 一维声子晶体(阴影区为不可约布里渊区)

根据布洛赫(Bloch)定理，沿x 一维方向周期性结构位移场方程为：

式中，a 为晶格常数，e 为波相位因子，k 为波矢，kx满足x 一维方向周期性条件。

2.2 有限元法能带计算

利用有限元法沿x 方向对波矢(k)布里渊区边界进行周期性扫描，选择Floquet 周期性边界条件，扫描范围设置为range(0,(pi/a-0)/波数,pi/a)。选取前10阶特征频率进行分析，可得到沿x 周期性方向的能带结构图。

通过图4 能带结构图，选取高对称频率点的模态振型图，分析带隙形成原因。如图5。

图4 一维声子结构能带结构图

图5 结构模态振型图

通过位移模态振动云图可以看出，在图5(a)为平直通带35Hz 在原胞的中心位置形成一个绕中心呈螺旋状的旋转模态位移，此时的筋板原胞内的弹性波经过时，共振子即不对纵向平直振动面内弹性波，也不对横向弯曲振动的面外弹性波起任何的阻碍作用。在图5(b)平直通带46Hz 处产生振动水平剪切模态，质量块B 产生一个x 方向的平移位移，此时，在平衡面板的表面产生阻力，阻止面内的弹性波沿筋板的纵向传播，而在垂直上面板的方向不产生振动位移，因此对面外的弯曲振动不起抑制作用。在图5(c)、5(d)的115Hz、123Hz 平直带该频率点原胞上附加的局域共振振子筋板基体有一个垂直方向的分量产生一个的剪切力抑制筋板基体在垂向方向的弯曲变形，因此，115 ～123Hz 产生一条狭窄的弯曲带隙。而在图5(e)带隙截止频率163Hz 处，振动模态表明局域共振子和筋板上板面板之间相互耦合，从位移振型图知共振子对加筋板原胞有一个垂直方向的作用力，同时筋板也对共振子产生一个反向的力，两者之间产生的能量通过振子上的软体阻尼层等效弹簧消耗掉，起到对弯曲振动衰减的效果。

3 结语

本文运用参数化设计铝合金筋板结构，分析结构的特性，通过在其上方敷设局域共振子的方式，利用有限元方法仿真得到500Hz 以下频率的绝对带隙，可以运用于载运设备的外壳或者地板结构，起到减振隔声的作用。