浅谈二次函数与面积综合下的教学探究

孙文瑜

【摘 要】  等面积法、面积最值问题转化为二次函数问题，探究二次函数下的面积综合解法策略及思路十分重要，可提升学生解决综合性问题的能力.文章将从易到难层层递进，揭示基于问题类型开展解法探究，并提出相应的建议.

【关键词】  二次函数；面积；面积法

二次函数的基本知识与现代数学的发展有着密切的关系，是符号化研究数学的继续，是数形结合思想近乎完美的体现，围绕二次函数能全面考察对函数形态的分析，以二次函数为载体把数的运算和几何证明融合在一起，把方程、不等式、绝对值、最值、动点、面积等知识融合起来，将数学学科内在联系和知识进行综合运用.二次函数作为初中数学阶段函数的终章，其重要性和难度不言而喻.因此，学生需要深刻理解二次函数的基本知识，了解函数之间的关系，灵活掌握并运用知识点，结合生活实际并利用二次函数来解决问题.

1  二次函数与面积的综合

二次函数经常以压轴题的形式出现在我们面前，难度较高，主要是综合性考察较多，二次函数可以与一元二次方程、不等式之间形成有机联系，结合图形，二次函数是一条抛物线，它可以联系其他平面曲线或直线，纵向和横向联系，围绕二次函数可以编制各种形式多样的数学问题.其中我认为“面积问题”是其中的集大成者， 从直三角形到斜三角形，从定点三角形到动点三角形，从定值面积到最值面积，从三角形到四边形再到多边形，因此，二次函数图像中的面积问题就像二次函数皇冠上瑰丽的珍珠，绚丽夺目，发人深省.

2  “面积问题”的准备

（1）相关知识点的储备.例如二次函数的相关概念，二次函数的图像和性质，二次函数的最值，二次函数的解析式等，以及三角形多边形的面积公式，平面直角坐标系、一元二次方程、平行线之间的关系.

（2）学生基本思想和能力的准备.初中阶段学生的思维正处于过渡阶段，抽象逻辑能力得到发展，但在一定程度上还需依赖形象思维，函数内容较为抽象，需要学生仔细阅读题目，必要时候圈点勾画，也能从一定程度上抽丝剥茧寻找蛛丝马迹，将知识点前后联系.

（3）点动成线，线动成面.“面积问题”本质上是找点、找线，掌握两点间线段公式.

3  “面积问题”事例

问题1  已知抛物线y= -+2x+3与x轴交于A，B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴交于C点，顶点为P.如图1所示.

图1

在平面直角坐标系中，当三角形的某一边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可称之为特殊三角形，求此类三角形的面积用面积公式即可.

等面积法的运用：图形面积模型往往难以直接构建，需要通过等量转化来简化模型，常采用的方法是运用平行线造就同底等高的三角形.若三角形同底，则对应高相等，可作底边的平行线，推导直线解析式；若为高相等，则可推知底相等，此时可考虑图形的中点.

方法  过点P作BC的平行线交X轴于点F，交y轴于点E，如图2所示.

图2

易得的斜率为-1，

因为平行线之间的距离处处相等，所以点P到BC的高和点E、点F到BC的高是相等的.

在上述方法中我们是采用了直线平移法.这是基于两个三角形存在相同的底，故可推得高相等，进而转化为两线平行.其中隐含了“平行线之间，距离处处相等”的性质定理.建立几何特性与等面积之间的关联是问题突破的关键点，也是平面几何性质在函数中的应用体现.

三角函数特殊角的运用：

如图3所示.

图3

问题2：点E为该二次函数图像上一动点，且在第一象限，连接CE、BE，求并求出此时点E的坐标.

从定三角形到动三角形，我们还是要从前面的问题中寻找思路.

方法一：过点E作EF//y轴，交直线BC于点F，如图4所示.

图4

接下来就是转化为解这个新的二次函数它的最大值，可用配方法也可用公式法求得在处取得最大值，最大值为，得到.

4  “面积问题”模型下的课堂探究

4.1  提高对二次函数认识，总结反思经典题型

相对于初中数学其他知识而言，二次函数研究的是自变量与因变量之间的关系，比较抽象，难度也相对较大.但是再复杂的二次函数，我们都应该回归教材，从本质着手，加深学生对二次函数基础知识的认识与理解，注重分析问题的全面性.在我们平时的教学中，教师也应注重讲解一些经典题型，从而提高学生对二次函数的理解能力，使学生掌握二次函数的精髓.另外，在讲解一些经典题型时应注重多角度地对经典题型进行分析，使学生理解經典题型，让学生触类旁通，从而达到事半功倍的教学效果.此外还应强调学习反思与总结的重要性，二次函数与面积综合虽然对同学的要求较高，从经典题型中找到灵感，总结其中方法.

4.2  关注数学学科核心素养

解决二次函数面积问题时需要用到一定的数学思想，如数形结合、方程、模型、等量转化等思想.利用数形结合整体分析问题，基于模型思想构建面积模型，从而转化面积条件，构建方程求解，这是数学思想链的分析过程.在教学中要善于引导学生仔细读题分析问题，尤其应注重一些隐含条件，还应该学会利用二次函数与方程根之间具有的关系，让学生逐步感知思想，体会数学思想的价值，在潜移默化中提升学生的数学素养，学会用建模的思想去解决其他和函数有关的应用问题，做到举一反三，甚至延伸到其他学科中.

4.3  克服心理障碍

数学需要学生必须具备较强的逻辑思维，在初中数学二次函数的教学过程中，经常会出现教师在讲台上侃侃而谈，下面的学生却昏昏欲睡，像二次函数与面积综合专题训练中经常会涉及大量计算和需要分析转化的条件，对于学生来说也是极具挑战.因此，在二次函数的专题学习中出现了严重的两极分化，在实际教学中，教师可以借助于几何画板、图形计算器等现代教学工具辅助教学，使学生从直观状态下发现函数的各种性质，通过强烈的视觉效果引发学生的学习积极性，使记忆保持得更持久.希望通过像二次函数与面积综合这样子的一个专题训练，既复习二次函数的基础知识，又帮助学生克服见到综合题目的畏难情绪.

4.4  数形结合的巧妙应用

在新课程改革背景下，强调对基本数学思想、基本技能的掌握，函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量，函数自产生就和图形结下了不解之缘.作为最基本的数学思想——数形结合，而二次函数这一章就完美地体现了这一点.教师一定要帮助学生养成未解题，先作图的习惯，二次函数的学习过程是一个非常抽象的教学过程，正因其抽象性和逻辑性，使得学生在二次函数的学习上很难接受和掌握，这时候二次函数教学形象化是一个很重要的教学方式，合理地利用图像教学的优势，将其具体化.

4.5  教学相长的课堂

以教师为主导学生为主体的课堂是新课标中大力倡导的，课堂教学以“设问——讲授知识——解决问题”的程序呈现，但是教师的“问”通常只是一种形式，往往只问不答，几乎是为讲解知识设计的一句串词；课堂上问题多且琐碎，未能围绕一个主题展开.学生的“学”由于被动而生惰性，学习重心仍然是对知识的死记硬背.而二次函数与面积综合这一专题由于难度较高，可能不能够一次性完整解决， 但在各个小问题上， 都能充分发挥学生的参与热情，也可以适当增加小组合作、讨论、评价环节，在独立思考和小组合作中改变以往方式，使学生积极参与课堂学习活动中，同时将问题难度降低，让学生在能力范围内掌握新知识.

5  结论

二次函数与面积的综合，是学生学习平面图形面积的基础，也是学生进一步学习抛物线、切线的基础，更是学生形成空间观念、提高空间想象能力的途径.以上，是我在教学实践中以二次函数背景下的面积综合问题的一点粗浅的看法.数学问题千变万化，关键要找到问题间的相互关系，体会其中用意，使学生在今后学习和生活中，将数学化繁为简，提高学习效率.

参考文献：

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[3]朱娅梅，撒兰应.二次函数的领域模型构建[J].内江师范学院学报，2021，36（12）：1-6+20.