关注建模内涵 划分建模水平培养建模能力

李生魁

［摘  要］ 文章从数学建模的内涵出发，认为初中生建模一般遵循“现实原型—实际模型—数学形式”的过程，并通过对建模的三个水平层次“再现、联系与反思”的例析，提出培养学生的建模能力可分别从以下三方面着手：掌握标准模型，提升建模“再现”水平；借助现实问题，提升建模“联系”水平；数学综合实践，提升建模“反思”水平.

［关键词］ 建模；再现；联系；反思

数学存在于人类生活的方方面面，将生活知识数学化的过程就是抽象数学模型的过程，此过程需对生活现象进行细致入微的观察. 因此，数学建模就是一种源自生活需要，解决生产问题的过程. 研究发现，关注数学模型内涵对发展核心素养具有重要价值与意义. 尤其对于初中生而言，建模可从数学学科本身的价值着手，引导学生进行有深度的思考，体会数学与自然、社会的必然联系，并感知数学的跨学科作用，为形成良好的建模能力夯实基础.

数学建模的内涵

建模属于数学教学的基本内容之一. 但是，当前仍有不少教师无法分辨出数学建模、数学模型思想以及建模活动之间究竟存在怎样的区别与联系. 为此，研究者借助图1揭露数学建模的内涵为：将生活实际中的一些问题转化成一些学生所熟悉的数学问题来探索，也就是将原本不属于数学领域内的问题转化为数学范畴以内的问题来探索与分析，并将探索而来的结论再转译到生活实际中去，实现生活与数学的深度融合，体现数学为生活服务的真谛.

整体而言，数学建模循环模型是指学生基于模型来探索生活中事物的关系结构，随着对模型的分析与演绎，将所获得的结论反演到生活实际中去，以更好地解决实际问题［1］. 就数学本身而言，建模就是将生活实际数学化的过程，也就是通过抽象、简化与提炼生活实际问题，使之成为数学问题，此为初步建构模型的过程. 从广义的角度来分析，数学模型涵盖了公式、定理、概念等，基于狭义的角度分析，数学模型是反映特定事物的一种特殊结构形式.

建模过程分析

初中阶段的学生已经有了一定的社会阅历与生活经验，具备了一定的建模能力. 从建模内容的角度来分析，此阶段学生的数学建模，一般遵循“现实原型—实际模型—数学形式”的过程.

现实原型是指一些真实的生活实际问题，这一类情境常常呈现出杂乱无章的乱象，令人无从下手；实际模型亦可称为现实模型，是指将现实原型进行简化与梳理，形成更加精准、简洁的表达方式，因此实际模型已经初步具备条理性；数学形式是指对模型的假设与简化，并借助简洁的数学符号或文字语言描述其关系的一种模式. 遍览各种版本的初中数学教材，其中所呈现的一些实际问题，基本都是编者根据现实生活提炼而来，包含了大量现实原型与实际模型，学生在学习过程中加以梳理，可将它们形成标准的数学形式.

建模水平划分

第一层，再现.

当学生面对自己认知范围内的情境或问题时，能在短时间内快速甄别出其中所蕴含的数学模型，并借助该模型来处理问题，属于数学模型的“再现”过程，这是建模水平的最基本的层级. 如常见的销售类问题：一条裤子先按照成本价提高50%进行标价，销售时给顾客打八折，这条裤子的赢利为28元，那么这条裤子的成本价是多少？

此为从学生生活实际提取来的问题，该情境将学生带入现实生活中，并借助销售类问题所涉及的标价、售价、折扣与赢利等关键词启发学生的思维，同时，这些关键词也是学生分析并解决问题的主要依据.

想要弄清问题中多个关键词所表达的实际含义，就需要在准确理解题意的基础上，应用数学符号准确地表达出成本、售价与赢利之间的关系. 因此，解决这个问题最直接的方法就是构建方程模型，学生直接套用标准模型就能顺利解决问题，因此，此过程属于数学建模的“再现”层级.

第二层，联系.

数学模型的“联系”是指在稍复杂的问题背景下，通过对知识的组合、迁移与转化，借助标准模型进行组合与变形，以解决实际问题的过程. 如某种传染病疫情暴发之后，“方舱医院”成了家喻户晓的一个名词，那么修建方舱医院会涉及不少信息，教师可借助PPT展示如下内容：

为了应对突发疫情，某地准备建立一个方舱医院，具体信息如下：①方舱医院主要由病房、医疗功能区、医疗废弃物处置区以及技术保障区四部分组成；②预期整个方舱的面积为8万平方米；③医疗废弃物处置区占到整个方舱面积的5%；④病房的整体面积是该方舱医院技术保障区面积的4倍；⑤病房面积和医疗功能区面积之和占整个医院总面积的85%以下. 那么，该方舱医院的医疗功区最大面积是多少？

这是一个源自生活实际的问题，情境中呈现的信息虽然很多，但并不全面，有很多信息需要学生在原有信息的基础上进一步进行假设、抽象或简化，并借助简洁的数学符号来表示待求面积. 由此可以看出，此情境涵盖了两个模型，分别为“方程模型”与“不等式模型”，学生只要直接进行模型的组合就能顺利解决问题. 由此可确定，此为处于“联系”水平的数学建模问题.

第三层，反思.

数学建模的“反思”是指在异常复杂的问题情境中，通过检验、类比、评价与模型的改建等，用创造性的方法解决问题的过程. 如水是生命的源泉，但地球上的水资源并不充足，因此我们在日常生活中应尽可能地节约用水. 有人提出“洗澡时应尽可能淋浴，可以节水”. 真相是怎样的呢？现在一起来看下面这个问题：

如果家里有一个长、宽、高（内部测量）分别为1.3 m、0.7 m、0.7 m的长方体浴缸，假设泡澡水深恒为0.5 m；还有一个淋浴房，淋蓬头的水速可调节，分别为15 L/min与10 L/min. 请问淋浴与泡澡两种方式，哪种更节水？

洗澡是学生异常熟悉的生活场景，在学生的认知基础上拓展“洗澡”这个问题，通过对关键信息的探索与分析，不难发现想要从真正意义上了解哪种洗澡方式更节水，就要考虑水流速度与沐浴时间等综合因素，此为解决问题的关键. 对于一个源自学生生活的实际问题，可通过假设并借助相应的模型來分析与探索问题. 当然，此过程对学生的思维要求较高，属于建模水平的较高层次，即“反思”水平层级. 处理好这个问题，对于学生个体建模思想的发展具有重要的价值与意义.

大部分教材所呈现的模型类问题均属于“再现”水平，利用这一类模型来培养学生的创新能力具有重要价值. 鉴于此，教师在教学实践中，需引导学生在积极思考与类比中发展反思能力与建模水平，为培育创新意识，发展核心素养做铺垫.

培养建模能力的策略

1. 掌握标准模型，提升数学建模

“再现”水平

模型思想是促进生活与数学联系的纽带，数学建模与解模对培育数学方程、函数思想等具有特殊意义，它不仅能体现出生活事物间存在的数量关系，还能借助数学符号建立一些模型，让学生深入理解问题的结论与结论所蕴含的实际意义.

为了让学生能顺利建构模型思想，编者在撰写教材时，常会关注到生活实际中的一些现象与数学知识间存在的关联性，并通过应用类的生活现实问题引导学生用相应的数学知识来解决问题. 学生因亲历用知识解决实际问题的过程而实现初步建模，感知到数学知识的价值与意义［2］.

从内容上来分析，学生常将大部分时间用在数学知识的内部学习上，如概念、定理、性质等，这些可作为标准模型进行教学，为解决实际问题服务. 如图2，从建模的过程来分析，数学建模涉及的内容相当多. 因此，实际教学过程中，教师可引导学生通过对实际模型的探索与分析，借助数学符号描述模型，促使学生深度参与建模过程，理解建模原理，从真正意义上提升建模能力.

2. 借助现实问题，提升数学建模

“联系”水平

让学生形成用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界以及用数学的语言表达现实世界（简称“三会”）是数学学习的重要目标之一，也是发展核心素养的主要通道［3］. 数学建模其实就是用数学的语言来表达现实世界的过程. 鉴于教材布局的局限性，教师可充分挖掘现实世界中的一些生活实际问题来弥补教材中缺少用实际模型类问题发展学生“联系”水平的缺陷，如在课堂中引入一些逼真、丰富的生活或问题情境等.

然而，生活中的一些原型类问题由于没有经过整理与归纳，显得杂乱无章，这就要求教师将问题进行一定的梳理，并带领学生分析其中的关系，明确问题的“主干”，消减无用的“枝丫”，理清问题的脉络，由此便可顺利提出合理的假设，从而用恰当的数学符号表达问题，为建立合适的模型奠定基础，这是发展学生建模能力“联系”水平的关键.

如以上关于“方舱医院”的探索，就鼓励学生通过自主阅读的方式提炼信息，用数学的眼光与思维来观察与探索解决问题的办法. 此为将生活现象抽象成数学问题，并用数学语言与符号进行表征的过程，学生在此过程中不仅自主抽象出相应的模型结构，还有效发展了数学建模的“联系”水平.

3. 通过综合实践，提升数学建模

“反思”水平

借助所学知识探索实际问题，是提升学生数学综合实践能力的主要途径. 数学综合实践的主要内容有：创设与实际生活相似的情境，引导学生通过自主思考与探索，设计相应的解题方案，从中感知建模的整个历程. 学生在建模过程中不断提升自身的问题意识，增强发现问题与提出问题的能力，此为形成创新能力的基础，也是发展学生数学建模能力的重要渠道.

受應试的影响，不少教师仍存在“知识本位”意识，教学中尤其关注数与代数、统计与概率、图形与几何的教学，而忽略综合实践的教学. 殊不知，数学综合实践是让学生从课堂中更好地了解现实生活的途径，也是学生借助丰富的数学知识思考现实生活的契机，利用好综合实践活动，不仅能提升学生的建模水平，还能发展学生的反思力，让学生进一步感知并体验现实世界与数学学科的关系.

在此背景下，教师应转变教学观念，将培养学生的数学核心素养这个目标凌驾于应试之上，充分挖掘综合实践课程的教学意义，结合学生生活中的实际问题，常态化地组织综合实践活动，让学生形成“三会”能力，从而提炼出相应的数学模型，让学生切身体会到数学源自生活实际，又反过来应用于生活实践的真理.

针对以上关于“节水”的问题，可将条件信息中的一些数据剔除，进而将问题的原始状态呈现给学生：有人提出洗澡时用淋浴比用浴缸更节水，真是这样吗？此时，这个问题就成了一个典型的数学综合实践性问题. 想要解决这个问题，就需要对数据进行搜集、整理、分析，并基于数学模型的视角进行探索与思考. 学生亲历探索过程，基于“引模、建模、解模与验证模型”的历程，有效提升建模的“反思”水平.

古希腊人提出：世界本就是一个简单且符合逻辑的能用数学所表达的世界. 这一认识与如今试图全面提升学生数学核心素养的数学教学有着重要联系. 一线数学教师应充分了解学生的实际认知水平与建模的各个水平阶层，设计出符合学情的教学方案，从真正意义上培养与发展学生的建模能力.

参考文献：

［1］史宁中. 数学思想概论（第5辑）：自然界中的数学模型［M］. 长春：东北师范大学出版社，2015.

［2］郑毓信. 数学抽象的基本准则：模式建构形式化原则［J］. 数学通报，1990（11）：9-11.

［3］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.