伽玛分布随机变量和的尾概率界

宋 欢，华志强，郭佳曦

（内蒙古民族大学数学科学学院，内蒙古 通辽 028043）

在现实生活中，经常出现一些极端事件，例如台风、地震、暴风雪等。尾概率界可以很好地描述极端事件发生的情况，随机变量和构造的模型可以更好地描述保险的实际情况。近年来，连续分布随机变量和的尾概率估计理论越来越受到重视，逐渐成为保险数学领域内的研究热点之一［1-4］。JANSON［5］对服从几何分布的随机变量和的尾概率上下界进行估计；LU等［6］对服从几何分布随机变量和的尾概率界进行改进，把得到的结果与JANSON［5］的结论进行比较。WANG 等［7］利用JANSON［5］的证明方法，为伽玛分布随机变量和提供了尾概率界；侯云艳等［8］讨论了在指数分布下，独立和负相依的随机变量和的尾概率界；LU等［9］研究了将具有几何随机变量的概率模型应用于破产概率的上下界和渐近估计中。在此基础上，做了如下工作：1）将WANG等［7］中关于伽玛分布随机变量和的尾概率界通过引入伽玛分布的方差，得到服从伽玛分布随机变量和的尾概率更加精细的上下界；2）利用LU等［9］中精细界限的检验方法，得到服从伽玛分布随机变量和的尾概率更为良好的界限。

1 预备知识

1.1 基础概念

定义1［10］若随机变量ξ的密度函数为

其中α,β＞0，则称ξ是服从参数为α和β的伽玛分布，记为ξ～Ga(α,β)。

设η1,…,ηn是彼此相互独立的随机变量，且ηi～Ga(αi,βi)，i=1,…,n，定义ξ=，记：μ=Eξ=。

由伽玛分布的概率母函数可知，对任意的非零实数z满足0＜z＜eβ*时，有

1.2 基本不等式

1.3 相关引理

引理1［10］令ξ为非负随机变量，则对任意x＞0,t≥0，有

引理2［7］在满足WANG等［7］中引理4.4的条件下，对于任意x＞0，z≥1，满足z(1-p*)＜1时

引理3［7］当其中ηi～Ga(αi,βi)，αi≥1，βi≥0，i=1,…,n，且η1,…,ηn是彼此相互独立的随机变量，则对任意的y,z∈R+，y≥z，有

2 主要结论

全文记ηi～Ga(αi,βi)，i=1,…,n，是彼此相互独立的随机变量，αi,βi∈R+。对于θ≥1 时，WANG 等［7］给出了一个上界

将式（6）结合Markov不等式，可以得到一个关于伽玛分布随机变量和更为精准的上界。

定理11）当时，

证明由式（1）和引理1可知，对于任意t＜β*，可得

推论11）当θ∈[1 ,∞)，β*满足时，有

证明1）当θ=1 时，式（11）结论成立。接下来，令g(θ)=，由于g(θ)为单调递增函数，则由结合极限可知，当时，有成立，从而可证式（11）。

WANG等［7］通过引理2得到了一个关于定理1结果更为精确的上界：

当θ较小时，通过引理2可以得到以下结论。

定理2对任意βi＞0,i=1,…,n，当时，有

证明为逼近伽玛分布随机变量，引入离散的负二项分布随机变量。令，其中，Yi～NB(ri,pi)，i=1,…,n是独立随机变量。记

由负二项分布的概率母函数可知

结合式（2）、式（15）和式（16），当1-z-1≤c0p*时，

利用式（17）、引理1和引理2，可得

为了选取合适的值，利用JANSON［5］中z的取值，即

其中，f(θ)=-(θ-p*)ln(θ-p*)+θlnθ。利用凸函数f(x)=-ln(1-x)的性质，可以得到

其中c1=p*v+。

设N＞1，为自变量序列，其中ri=αi＞0，pi=＜1，i=1,…,n。由式（1）结合式（16），对任意的i=1,…,n，有，N→∞。

其中c2=。

推论2在定理2的条件下，当θ≥，并且≤-ln(1-c0)-1时，有

证明当θ≥exp，有。又因为-1，可得因此，可证得定理2得到的上界比式（13）更加精细。

当β*较小时，类似定理2的证明方法，可以得到以下定理。

定理3当并且β*∈(0,c0]时，有

其中c2=β*μ+β*2σ2。

证明利用式（2）来代替凸函数f(x)=-ln(1-x)，当p*∈时，式（21）可成为

结合式（20）和式（24），由式（22）的条件得知

由式（23）定义可知

当θ≤1时，与JANSON［5］中的证明方法类似，可以得到

定理4对于任意β1,...,βn∈(0,1]，当θ≤1时，有

证明类似定理1的讨论，当0 ≤t＜β*时，有

将式（3）代入式（27）中，可知

把t=代入式（28）中，即可证得定理。

推论3当θ≤1并且时，有

证明即要证。利用式（5），可以得到

当θ≤1时，WANG等［7］提出了P(ξ≥θμ)的一个下界形式：

通过使用WANG等［7］中的引理3，可以得到一个更为精确的下界。

定理5对于任意αi≥1，βi＞0，并且θ≥1有

证明令ε=，在定理4中取θ=1-ε，结合式（4），可以得到

由式（31）结合引理3，可以得到

推论4当时，有。

3 结束语

1）对θ的范围进行限制，进而改进了服从伽玛分布随机变量和的尾概率界的范围；2）在改进的尾概率界的基础上，对β*的取值范围进行规定从而进一步优化服从伽玛随机变量和的尾概率界；3）将得到的服从伽玛分布随机变量和的尾概率界与原有的尾概率界进行对比，所获得的尾概率界是较为良好的。