让学生积极主动有序有效地探究

江西省宜丰中学 (336300)

一、引子

师：很高兴有机会和大家一起学习数学、探讨数学.我是江西省宜丰中学教师，叫龚浩生.同学们听到这个名字是否想到了数学中一个什么数?

生：3.

师：对，就是3.同学们的联想很丰富，希望在这堂课的学习中，同学们能展开联想、放开思维、积极探究，通过本课的学习，我希望不但能增长你的知识，也能让你学会发现问题、提出问题、探究结论，并感受数学的发现过程与发现的乐趣.

评注：诙谐的引言，拉近了陌生师生之间的距离，给学生以亲切感，为本课创设了良好的探究氛围.同时又自然地揭示了本课的主要教学意图.

二、引出课题

同学们已经学习了抛物线，现在我们来看抛物线y2=2px(p>0)的图像，请同学们回顾它的焦点坐标是什么?

生：F(p2,0).

师：准线方程是什么?

生：x=-p2.

师：连接抛物线上的点与焦点的线段叫什么?

生：焦半径.

师：焦半径AF的长有什么公式吗?

生：有，|AF|=x瑼+p2.

师：连接抛物线上任意两点的线段叫抛物线的弦，特别地，经过焦点的弦又可叫什么呢?

生：焦点弦.

师：好!现在我们就一起来探究抛物线的焦点弦的性质.(板书课题：抛物线焦点弦的性质的探究)

评注：通过简洁的回顾引出课题，既面向全体、集中了学生的注意力，又提出了本课总的思维任务，为有效的探究提出了目标.

三、代数性质的探究

师：取焦点弦AB，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，同学们知道关于A、B两点的坐标有什么结论吗?

生：有y1y2=-p2,x1x2=p24.

师：这两个结论是怎样得到的?得到了这两个积是定值后，你们有没有想过和又怎样呢?

生：上述结论可由韦达定理得出.设AB的方程为x=my+p2，代入抛物线方程y2=2px，得y2-2pmy-p2=0，所以，y1y2=

-p2，且y1+y2=2pm.

师：很好!由此看出y1、y2的和不是定值，与m有关.这里的m有什么意义吗?

生：m是直线AB斜率的倒数.它显然不为零.若斜率不存在，则m=0.

师：那么x1、x2的和与m有关吗?

生：与m有关，由AB的方程得：x1+x2=m(y1+y2)+p=2pm2+p=p(2m2+1).

师：到此，关于焦点弦两端点的坐标我们有四个重要结论，请回忆一下，这四个结论是.

生：x1x2=p24,x1+x2=p(2m2+1),y1y2=-p2,y1+y2=2pm.其中m为焦点弦的斜率的倒数.

评注：第一轮的探究以课本习题关于焦点弦两端点的相应坐标积的结论为起点，引出相应坐标和的结论，探究步子较小，有利于学生适应探究的节奏，并为后续的探究作好铺垫.

师：接下来再探究什么呢?

生：长度，看看焦点弦长有怎样的公式?

评注：有了探究的情境，学生在探究了坐标的结论后，想到焦点弦的长度是很自然的，可见创设适当的探究情境有利于促进学生知识的自主建构.

师：很好，大家想想，怎样来推导焦点弦长的公式呢?

生：可以用|AB|=1+k2|x1-x2|，其中k为斜率，|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2.

师：对.这种方法也可求一般的弦长，对于抛物线的焦点弦而言，还有更好更快的方法吗?

评注：探究学习既要让学生尽可能的自主建构，也要有教师的适当引导，以调整思维方向，确保探究有序有效地进行.

生：用焦半径公式，|AB|=|AF|+|BF|=(x1+p2)+(x2+p2)=x1+x2+p.

师：这个公式用坐标很简洁地表达了焦点弦长，还能用其它的量来表达焦点弦长吗?

生：还可用斜率表达，由x1+x2=p(2m2+1)=p(2k2+1),可得|AB|=p(2k2+1)+p=2p(1k2+1).

师：斜率不存在时怎么办?

生：在斜率不存在时，AB垂直于x轴，x1=x2=p2，故|AB|=x1+x2+p=2p.

师：好，再想想，焦点弦长还能用什么量表达吗?

生：还可用倾斜角α表达，因为k=玹anα，所以|AB|=2p(1玹an2α+1)=2p玸in2α.

师：在斜率不存在时，这个公式怎么样?

生：在斜率不存在时，α=π2,|AB|=2p,公式仍然成立.

师：对，请大家观察焦点弦长公式，看看焦点弦长有没有最值?

生：当α=π2时，|AB|=2p为最小值，没有最大值.

师：这表明，焦点弦中通径是最短的，长为2p.至此，我们得到了焦点弦长的几个结论是 .

生：|AB|=x1+x2+p=2p(1k2+1)=2p玸in2α.

评注：第二轮的探究到此稍作停顿.让学生回味、整理一下新的知识点，也让思维暂时落后的学生消化一下新知识，以利于开展下一轮的探究.所有学生的参与是形成积极主动探究氛围的推动力.

师：注意到焦点弦AB被焦点F分为两段AF、BF.AB的长就是|AF|与|BF|的和，可见|AF|与|BF|的和已有了公式，那么|AF|与﹟BF|的差呢?积呢?又有什么结论?

评注：通过问题的变式引导学生思考新的问题，也让学生见识并领悟怎样提出新的探究问题，有利于学生学会自己提出问题、探究问题.

生：|AF|-|BF|=x1-x2.

师：x1-x2=?不妨来求|x1-x2|.

生：|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=p2(2k2+1)2-p2=2pk2k2+1,故有||AF|-|BF||=2pk2k2+1.

师：很好!这是斜率存在的情况，若斜率不存在，则易知|AF|-|BF|=0.再看积呢?

生：|AF|•|BF|=(x1+p2)(x2+p2)=x1x2+p2(x1+x2)+p24=p2(1+1k2).

师：一算到底!又得到一个公式，谁有不同意见吗?

生：老师，我把x1+x2保留不动，得|AF|•|BF|=p2(x1+x2)+p22=p2(x1+x2+p)=p2(|AF|+|BF|).

师：这个等式变成怎样的形式更好呢?

生：哦，可变成：1|AF|+1|BF|=2p.

师：这个结论太好了!这表明通径长的一半是|AF|与|BF|的调和平均，我们可把这个结论概括为：抛物线的通径长的一半是焦点弦被焦点分成的两段长的调和平均.

评注：探究积的情况时，多数学生受常规影响，一算到底，很快得到结果.只有少数能打破常规的同学，往往能发现曲径通幽.这个调和平均结论被学生探究发现的过程，是把数学“冰冷的美丽”还原为学生“火热的思考”的必然结果，学生为此结论的发现感到十分喜悦.可见点燃和激起学生的火热思考，并注意挖掘学生思维的闪光点就能让学生都欣赏到数学的冰冷的美丽.至此探究达到第一个高潮，稍作停顿，作用和前述一样，以下几轮亦如此，不再赘述.

四、几何性质的探究

师：以上探究了焦点弦的代数性质.下面我们再从几何图形的角度来观察探究，看能发现一些什么新的结论么?

评注：代数性质主要是数量关系的结论，几何性质则主要是图形关系的结论，研究了一些基本的数量关系结论后再结合几何图形来探究几何性质是很自然的，也是很基本的研究方法.至此引导学生进入一个新的研究领域.

如图，分别作出AM、BN垂直于准线，垂足为M、N，设准线与x轴交于K.看看y1y2=-p2有什么几何意义?是不是对应了一个几何等式?

生：因|MK|=|y1|,|NK|=|y2|,|KF|=p，又|y1y2|=p2，所以|MK|•|NK|=﹟KF|2.

师：从这个等式你能联想到什么?

生：射影定理.

师：射影定理的条件是什么?

生：是直角三角形与斜边上的高，连接MF、NF，应有∠MFN=90°.

师：为什么?

生：由AF=AM及AM∥FK，知∠MFK=∠FMA=∠MFA,同理∠NFK=∠NFB，所以∠MFN=∠MFK+∠NFK=12平角=90°.

评注：进入一个新的研究领域后，要适当引导学生调整思维方向，让所有学生跟上思维步伐，这是积极主动情境形成并保持的前提，也是有序有效探究活动展开的动力.从y1y2=-p2过渡到射影定理，要让学生结合数量关系认真观察图形关系，并借助图形的直观形象进行思维、联想.

师：很好!现在我们知道∠MFN=90°，进一步联想，以MN为直径作圆可能得到什么结论?

评注：同时作出以MN为直径的圆，给学生以直观感知，有利于学生的探究发现及结论的记忆.

生：点F在这个圆上，圆与AB可能相切.

生：对!是相切，取MN的中点P，连接PF、PA，则PF=PM,AF=AM,△AFP≌△AMP,所以∠PFA=∠PMA=90°，即AB⊥PF，所以AB和圆相切.

师：好!请大家共同概括一般结论.

生：以抛物线的焦点弦在准线上的射影为直径的圆和这条焦点弦相切于焦点F.

评注：尽量让学生领悟在探究过程中怎样不断发现问题、提出问题，并给学生发现问题、提出问题的机会，使学生有真正身临其境的感受，这样才有利于让学生真正走上探究之路.

生：以焦点弦AB为直径作圆是不是也会与MN相切呢?(新一轮探究开始，作出图形.)

师：同学们想想怎么探究这个问题?

生：只要看圆心到MN的距离是否等于半径，取AB的中点Q，连接PQ，则由梯形的中位线定理得|PQ|=12(|AM|+﹟BN|)=12|AB|，且PQ⊥MN，所以，以AB为直径的圆也与MN相切于点P.

师：怎样概括一般结论呢?

生：以抛物线的焦点弦为直径的圆和准线相切，切点是焦点弦在准线上的射影的中点.

师：以AB为直径的圆和MN相切于P，这里还能得什么结论吗?

生：有∠APB=90°.

师：还有什么相切的情况吗?看看PA、PB!(引导学生提出新的探究任务)

生：可以看看PA、PB和抛物线是否相切?

师：判定直线与抛物线相切有什么一般方法吗?怎样判断PA与抛物线是否相切?

生：有判别式法，把PA的方程代入抛物线方程后，看判别式是否为零.

师：那么PA的方程怎么得出?得出PA的方程又怎样与抛物线方程消元?

生：用两点式，P是MN的中点，坐标为(-p2,y1+y22)，点A的坐标是(x1,y1),PA的方程为y-y1+y22y1-y1+y22=x+p2x1+p2，与y2=2px消x得，2y-(y1+y2)y1-y2=2px+p22px1+p2=y2-y1y2y21-y1y22y-y1-y2=y2y1-y2輞2-2y1y+y21=0荨=0，可知PA与抛物线切于点A.

师：漂亮!这一消元化简的技巧值得大家学习.同理，PB也与抛物线相切于点B.因为抛物线上一点处的切线是唯一的，所以，我们可把结论概括为：抛物线的焦点弦两端点处的切线垂直相交于准线上一点.

评注：三个相切关系的探究，联系紧密、过渡自然、一环扣一环，学生的推理、运算能力得到了较好的锻炼.至此，探究过程达到第二个高潮，学生们对这些结论的获得感到特别的兴奋，探究的乐趣越来越浓.

师：同学们再观察图像，对于梯形AMNB还有什么问题需要探究吗?(作图启发学生思考并提出问题)

生：看看对角线的交点在那里呢?是不是原点呢?

师：这两个问题既有区别也有联系，谁能说说解决的思路?

生：探究交点在哪里，可以通过解方程组求出交点，再判断.若是考虑交点是不是原点，则可看A、O、N三点是否共线?B、O、M三点是否共线?

师：好，就请大家先考虑A、O、N三点是否共线?

生：用斜率判断，k㎡A=y1x1,k㎡N=y2-p2=2y2-p,k㎡A=k㎡N-py1=2x1y2-p2y1=2px1y2-p2y1=y21y2(y1≠0)趛1y2=-p2成立，所以A、O、N三点共线.

师：很好!同样B、O、M三点共线，从而梯形AMNB的对角线交于原点.我们又可以概括一个一般结论：抛物线焦点弦的一个端点与另一个端点的准线上的射影及顶点共线.

评注：对几何性质的探究，又得到好几个新的知识链，连同代数性质知识链在内，这些知识链相互融通，形成有机联系的知识网络.如，y1y2=-p2和射影定理在梯形AMNB探究中的作用；相切的关系在几个链条中的存在也把这些知识链有机地联系在一起.让知识通过探究而生成，并形成一种知识网络，有利于学生站在系统的高度把握知识体系.

五、回顾与延伸

师：由于时间关系，本课就探究到这里.回顾本课，我们探究了抛物线焦点弦的代数性质和几何性质，希望同学们不仅要掌握本课的一些结论，更要领悟发现问题、提出问题、探究结论的方法.其实抛物线的焦点弦还有许多性质，同学们可以在本课学习的基础上去作进一步的探究.比如，对本课的一些结论，探究一下它们的逆命题是否成立，如：已知AO交准线于N，是否有BN垂直于准线?若已知y1y2=-p2，能否得出AB过焦点?若已知弦AB被x轴分为AF、BF，满足1|AF|+1|BF|=2p，能否得出点F是焦点?你也可以把焦点改为另外的点，如：过点(p,0)的弦有什么性质?你还可以类比本课的方法去探究椭圆、双曲线中的焦点弦的性质，等等.愿同学们在今后的学习中多用些探究的眼光去发现数学、去感觉数学思维的生动、美丽，这样你的数学学习将会其乐无穷，你会变得更加聪明.

评注：进一步启发学生如何变换问题条件或结论，得出新的探究问题；也提示学生把探究延伸下去.如果说课内的自主探究空间是有限的，那么课外的自主探究空间则是无限的，通过课内的引导、激发，点燃起学生的探究热情，并让这种热情自觉地延伸到课外，学生的探究意识、创新能力将会得到积极、有效的发展.

“数学教学的基本要点应是以数学知识的教学为载体，开启学生的智慧大门，引发学生实质性的数学思维，促进学生的全面发展，所以数学课堂中应有更多的探究和理解，更少的简单记忆和机械模仿.”(章建跃).作为一线教师，如何有效地实施探究式教学?是值得探讨的重要课题，本课作为对这一课题的初步探讨，希望成为引玉之砖，并得到专家及同行的指教.