谈有关极差、方差的常见误区

郭爱英

我们知道，在两组数据的平均数、中位数和众数分别相同或相差无几的情况下，对这两组数据的评价一般都是请方差“出山”，由方差来定夺.而且人们常常对方差较小的一组数据另眼相看，认为方差小的“较好”.这其实是对方差的一种误解.

例1某学校欲从甲、乙两人中选出一人参加市中学生运动会100 m短跑比赛.体育老师组织他们进行集训，并把10天的训练成绩用折线图进行了记录（如图1所示）.请问：学校选谁去参加较合理呢？

对于这个问题，我们首先想到的是看谁的成绩较好，于是分别计算他们的平均成绩.从折线图中可以知道，甲10次的成绩分别是（单位：s）：

18171616151414131413

平均成绩是15 s.

乙10次的成绩分别是（单位：s）：

17161515141514141515

乙的平均成绩也是15 s.

由于两人的平均成绩相同，所以接下来自然就想到比较他们的方差，看谁比较稳定.根据方差计算公式易知，甲10次成绩的方差是2.6，乙是0.8.

至此，许多同学就不约而同地认为：因为甲的方差比乙大，所以甲的成绩波动性大，不稳定；乙的方差小，成绩较稳定.因此，选乙参加较合理.

这样的看法是错误的.从折线统计图可以发现，10天的训练成绩中，甲虽然不太稳定，但主要是因为在训练的头几天成绩较差些.经过几天训练后成绩有明显的提高，说明他进步快，很有潜力.而乙的进步较慢，到了后几天就停滞不前，甚至退步.另一方面，在10次成绩中，甲有5次的成绩在15 s内，而乙却只有3次.

正确结论是：如果学校想求稳，应选乙，因为在平均成绩相同的情况下乙的成绩比甲稳定；如果学校想争夺冠军，应选甲，因为甲有2次的成绩达到了13 s，很有夺冠的可能.

例2已知一组数据0，-1，x，1，2的极差是3，求x的值.

错解：由题设得2-x=3，解得x=-1.

正解：（1）当x为这组数据的最大值时，有x-（-1）=3.解得x=2.

（2）当x为这组数据的最小值时，有2-x=3，解得x=-1.

故x=2或x=-1.

反思：错解错在受思维定势的影响，考虑问题不周密.这组数据中的x，既有可能是这组数据中的最大值，也有可能是这组数据中的最小值.

例3甲、乙两工人生产直径为40 mm的某种零件.现各抽取两人加工的5只零件检查，量得尺寸如下（单位：mm）.

甲：4241403938 乙：40.540.14039.939.5

问：哪位工人生产的零件质量较好？

错解：甲、乙两工人生产零件尺寸的平均数分别为：

x=×（42+41+40+39+38）=40. x=×（40.5+40.1+40+39.9+39.5）=40.

所以两工人生产的零件质量一样好.

正解：同错解，计算可得x=x=40.

甲生产零件的尺寸，极差为42-38=4.方差为[s][2][甲]=×［（42-40）2+（41-40）2+…+（38-40）2］=2.

乙生产零件的尺寸，极差为40.5-39.5=1.方差为[s][2][乙]=×［（40.5-40）2+（40.1-40）2+…+（39.5-40）2］=0.104.

所以乙工人生产的零件质量较好.

反思：分析数据不应该只从平均数上分析，还应该结合方差、极差来进行分析.方差、极差都可以反映数据的波动情况，其值越小波动越小，并且方差能比极差更精确地刻画波动的情况.