巧用“１”求线段比

田发银

在求解有关线段比的问题时，巧用“1”代替某线段的长，再借助运算或推理，常可化难为易.

例1如图1，梯形ABCD的两条对角线把它的中位线EF三等分，交点为M、N．求MN∶DC∶AB的值.

简解：设EM＝MN＝NF＝1.

在△ADC和△ABD中，由中位线性质得DC＝2，AB＝4．

∴ MN∶DC∶AB＝1∶2∶4．

例2 如图2，在▱ABCD中，E、F为AD的三等分点．EC交BF于G，交BD于H.求EG∶GH∶HC的值.

简解：令EF＝1，则BC＝AD＝3．

∵ AD∥BC，△EFG∽△CBG，

∴ ＝＝，EG＝GC，即EG＝EC.

又＝＝，故EH＝HC，EH＝EC.

∴ GH＝EH－EG＝EC，HC＝EC.

∴ EG∶GH∶HC＝EC∶EC∶EC＝5∶3∶12.

例3如图3，在正方形ABCD中，AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC.求PQ∶AC的值.

简解：令AP＝1，则PB＝3，AB＝4．

由勾股定理，得AC＝4，PC＝5.

易证△PAQ∽△CBP.

∴ ＝．PQ＝＝＝．

∴ PQ∶AC＝∶4＝∶1．