三角函数值的计算六法

高俊元

锐角三角函数是初中数学的重要内容，是解直角三角形的基础.锐角三角函数值的计算对于初学者来说是一个难点．让我们一起来总结有关的三角函数值的解题方法．

一、定义法

例1 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sinα的值是（）.

A. B. C. D.

解析： 由正方形网格可知，角α的对边的长为3，邻边的长为4，要求sinα，只要根据勾股定理求出三角形的斜边，再根据三角函数的定义计算即可．

设α的对边为a，邻边为b，斜边为c，则a=3，b=4，所以c= =5.所以sinα= = .选C．

评注: 解答这类问题最易发生的错误，是搞错边的比的关系.有时定义记准确了，实际计算时又犯糊涂.克服办法

就是计算时每一步都要细心.

二、设k法

例2 已知∠A为锐角，sinA= ，求其他三角函数值．

解析： 根椐已知的一个锐角三角函数值，应用三角函数的定义，引入字母表示两边长，然后用勾股定理求出第三边，最后用定义就可以求出其他锐角三角函数值．

设∠A为某直角三角形的锐角，其对边a为5k，斜边c为13k（k＞0），则∠A的邻边b为12k．

根据定义，得cosA= = = ，tanA= = = ，cotA= ．

评注: 将三边用字母表示的步骤看似烦琐，实际是避免错误的好方法.这类计算题思考难度并不大，主要是计算的准确性问题.

三、关系式法

例3 如果α是锐角且cosα= ，求sinα的值．

解析： 根据三角函数的意义，可得sin2α+cos2α=1.

所以sinα= = = ．

评注： 三个三角函数之间的关系：sin2α+cos2α=1，tanα= .根据这两个关系式，知道三个三角函数中的任意一个的值，都可以求出其他两个三角函数值.

四、等比转化法

例4 如图2，已知AB是半圆O的直径，弦AD和BC相交于点P，AB=5，CD=3，求cos∠BPD.

解析： 要求cos∠BPD，首先构造直角三角形.连接BD.可知cos∠BPD= .PD，PB未知，可根据相似三角形对应边成比例进行转化.

显然△CDP∽△ABP，则 = .

因为AB是半圆O的直径，所以∠ADB=90°.

所以cos∠BPD= = = .

评注： 构造直角三角形，借助相似三角形对应边成比例，将比例进行转化，是解这类问题的基本思考路径.

五、构造法

例5 求tan15°的值．

解析： 由于15°是30°的一半，故借助含30°角的直角三角形来构造含15°角的直角三角形，再由三角函数定义求sin15°的值.用此三角形可以求出15°，75°角的所有三角函数值．

如图3，作Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=30°.延长CB到D，使BD=BA，则∠D=15°.

设AC=k，则AB=2k，BC= k．

∴CD=（2+ ）k．

∴tanD= = = =2- .

∴tan15°=2- .

评注: 通过构造特定的直角三角形，将15°角的三角函数值问题转化为30°角的三角函数值问题，这是一种重要的数学方法，有时题目中没有直角三角形，我们还可以通过作垂线构造直角三角形来解决问题.

责任编辑/赵良河

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