四法五图解三角形相似问题

2008-12-23 08:33郭杏好
中学生数理化·中考版 2008年12期
关键词:传递性分法木条

郭杏好

对应角相等、对应边成比例的三角形是相似三角形.相似三角形的本质特征是“形状相同”但大小不一定相等.相似三角形对应边的比,叫做相似比(或相似系数).若△ABC与△A′B′C′的相似比是k1,△A′B′C′与△ABC的相似比为k2,则k1= .相似三角形有一个重要的性质——传递性:如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽△A2B2C2.

判定两个三角形相似常用的“四法”是:

(1) 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.(相似三角形判定的预备定理)

(2) 两角对应相等的两个三角形相似.

(3) 三边对应成比例的两个三角形相似.

(4) 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.

“五图”是指5个常见的三角形相似的基本图形.

在图1中,△ADE∽△ABC;在图2中,△ABO∽△A′B′O;在图3中,△ABC∽△AED;在图4中,△ABC∽△ADB;在图5中,△ABC∽△ACD∽△CBD.

例1 小明要做两个形状相同的三角形框架,其中一个框架三边为30 cm,40 cm,50 cm,而另一个三角形框架现在只有一条60 cm的木条,小明应该再找两根多长的木条呢?

解:设另两根木条分别长x cm,y cm,x≤y.

若60 cm和30 cm木条为对应边,则 = = .

解得x=80(cm),y=100(cm).

若60 cm和40 cm木条为对应边,则 = = .

解得x=45(cm),y=75(cm).

若60 cm和50 cm木条为对应边,则 = = .

解得x=36(cm),y=48(cm).

注:解此题的关键是弄清60 cm的木条和已知框架三边中的哪条边是对应边.有三种可能性,因此需分类讨论.这道题重在体现分类讨论的数学思想.

例2 如图6,△ABC中,D,E分别是AB,BC边上的点,连接DE并延长,交AC的延长线于F,若BD∶DE=AB∶AC.求证:△CEF是等腰三角形.

分析: 由已知AB∶AC=BD∶DE,结合图形容易看出,若过点D作DG∥AF,交BC于G,可构造多组三角形相似的基本图形,则AB∶AC=BD∶DG,所以DG=DE,从而可证CF=EF.

证明:过点D作DG∥AF,交BC于G.显然△ABC∽△DBG.

所以 = ,

由 = ,可知DE=DG.

由DG∥CF,可得△CFE∽△GDE.

所以 = .

因此CF=EF.即△CEF是等腰三角形.

例3 图7是一个直角三角形,∠B=90°.请设计三种不同的方法,将这个直角三角形分成四个小三角形,使得每个小三角形与原直角三角形都相似.(两种分法中,只要有一条分割线段位置不同,就认为是两种不同的分法)

分析: 一是要利用相似三角形的基本图形;二是要利用相似三角形的传递性.

解:分法如图8.图8(1)中,D是AC边的中点,DE⊥BC,DF⊥AB.图8(2)中,BD⊥AC,DF∥AB,DE∥BC.图8(3)中,BD⊥AC,DE⊥BC,EF⊥AC.

责任编辑/赵良河

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。

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