图形相似单元检测题

熊志新

一､选择题

1. 已知△ABC的三边长分别为20 cm,50 cm,60 cm,现要利用长度分别为30 cm和60 cm的细木条各一根,做一个三角形木架与原三角形相似,要求其中一根为一边,将另一根截断(允许有余料)作为另两边,那么另两边的长度分别为().

A. 10 cm,25 cm B. 10 cm,36 cm,或12 cm,36 cm

C. 12 cm,36 cm D.10 cm,25 cm,或12 cm,36 cm

2. 在△ABC中,AB=6,AC=4,P是AC的中点,过点P的直线交AB于点Q,若以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似,则AQ的长为().

A. 3B. 3或 C. 3或 D.

3. 如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC,BD交于点O,若S△ODC =S△OAB,则S△ODC ∶ S△ODA等于().

A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶5

4. 中央电视台《开心辞典》栏目曾有这样一道题:圆的半径增加了1倍,那么圆的面积增加了().

A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍

5. 下列说法:① 相似图形一定是位似图形;② 位似图形一定是相似图形;③ 全等的图形一定是位似图形;④ 放幻灯片时,底片上的图形和银幕上的图形是相似图形.其中正确的说法有().

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

6. 如图2,梯形ABCD的两条对角线相交于点O,有以下四个结论:① △AOB∽△COD;② △BOC∽△BAD;③ S△DOC∶S△AOB=DC∶AB;④ S△AOD=S△BOC;⑤ S△AOB∶S△BOC=AO∶OC.其中始终正确的有().

A. ①②③④ B. ①④⑤

C. ③④⑤ D. 全正确

7. 如图3,把△PQR沿着PQ的方向平移到△P ′Q′R′的位置,它们重叠部分的面积是△PQR的面积的一半,若PQ= ,则此三角形移动的距离PP ′等于().

A. 2 B. 2

C.+1 D.-1

二､填空题

8. 如图4,在等边△ABC中,P为BC上一点,D为AC上一点,且∠APD=60°,BP=1,CD= ,则△ABC的边长是 .

9. 如图5,AD是圆内接△ABC的高,AE是圆的直径,AB= ,AC= ,则AE·AD= .

10. 雨后初晴,一学生在运动场上玩耍,他从前面2 m远的一小块积水处看到旗杆顶端的倒影,如果旗杆底端到积水处的距离为40 m,该学生眼部的高度是1.5 m,那么旗杆的高度是 .

11. 如图6,DE∥FG∥BC,且DE,FG把△ABC的面积三等分.若BC=12,则FG的长为 .

12. 如图7,在长为8 cm,宽为6 cm的矩形中,截去一个矩形(即阴影部分),若留下的矩形与原矩形相似,那么留下的矩

形面积是 .

13. △ABC和△A1B1C1位似,位似中心是点O,且OA=3OA1,又知△A1B1C1∽△A2B2C2,且S△A1B1C1∶S△A2B2C2=1 ∶ 4,则△ABC和△A2B2C2的周长之比为 .

14. 如图8,四边形ABCD中,点M在AC上,MQ∥CD,MP∥AB,则 = = .

15. 边长为2的等边三角形被平行于一边的直线分成等面积的两部分,其中一部分是梯形,这个梯形的中位线长为 .

三､解答题

16. 已知x∶y∶z=3∶4∶5,求 的值.

17. 如图9,△ABC中,∠CAB=90°,BC的中垂线DE交BC于E,交CA的延长线于D,交AB于F.求证:AE 2=EF·ED.

18. 在△ABC中,已知DE∥BC,S△ADE ∶ S梯形BDEC =1∶ 4.求AD ∶ BD的值.有两个同学是这样做的:

小红:因为S△ADE ∶ S梯形BDEC =1 ∶ 4,所以AD∶DB=1∶2.

小兰:因为S△ADE ∶ S梯形BDEC =1 ∶ 4,所以S△ADE ∶ S△ABC=1∶5.

∴AD ∶ AB=1∶25,则AD ∶ DB=1∶24.

你同意他们的解法吗?若不同意,请写出你认为正确的解题过程.

19. 如图10,四边形ABGH,BCFG,CDEF都是正方形,边长都为1.

(1) 求HD,HC,HB的长.

(2) △HBC与△DBH相似吗?证明你的结论.

(3) 求∠HCB+∠HDB的度数.

20. 如图11,把矩形纸片ABCD对折后展平,得折痕MN,再把B点叠在折痕上得到△ABE,过B点折叠纸片,使D点仍在直线AD上,得折痕PQ.

(1) 求证:△PBE ∽△QAB.

(2) 你认为△PBE和△BAE相似吗?如果相似,给出证明;如果不相似,请说明理由.

(3) 如果沿直线EB折叠纸片,点A是否能叠在直线EC上?为什么?

21. 在平面直角坐标系中,将下列各点顺次连接:A(0,1),B(4,1),C(5,4),D(1,4).

(1) 你得到一个什么图形?

(2) 将各点横､纵坐标都乘以2,再顺次连接,所得图形与原图形有什么关系?

(3) (1)(2)中两图形的周长､面积各有什么关系?

22. 如图12,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P沿AB边从A开始向点B以2 cm/s的速度运动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动.如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6).

(1) 当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?

(2) 求四边形QAPC的面积,得出一个与计算结果相关的结论.

(3) 当t为何值时,以点Q,A,P为顶点的三角形与△ABC相似?

一､1. D 2. B 3. A 4. C 5. B 6. B 7. D

二､8. 3 9. 310. 30 m 11. 412. 27 cm2 13. 3∶2

14. 15.

三､16. 6 17. 提示:证∠D=∠EAF,进而证△AEF ∽△DEA.

18. 不同意他们的解法.正确答案是 = .

19. (1) HD= ,HC= ,HB= . (2) 相似, 证明略. (3) 45°.

20. (1) 略. (2) 提示:相似. = ,BQ=PB, = .

(3) 点A能叠在直线EC上,由(2)可得∠AEB=∠CEB.

21. (1) 四边形ABCD为平行四边形. (2) 所得图形与原图形相似. (3) 周长是原来的2倍,面积是原来的4倍.

22. 提示:(1) AP=2t cm,QA=(6-t) cm,6-t=2t,得t=2(s).

(2) S△QAC = QA·DC,S△APC = AP·BC.

S四边形QAPC = S△QAC + S△APC = (36-6t)+6t=36(cm2).

在P,Q两点移动的过程中,四边形QAPC的面积始终不变.

(3) 在矩形ABCD中:

① 当 = 时,△QAP ∽△ABC,此时 = .解得t=1.2(s).

② 当 = 时,△PAQ ∽△ABC,此时 = .解得t=3(s).

责任编辑/冯 琦

注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文”｡