因式分解的妙用

李亚军

一、因式分解法解一元二次方程

例1：解方程：x（x-1）=2x-2

分析：因式分解法解一元二次方程的要求是使方程右边为零左边因式分解，所以本题不必拘泥于一般要求去把方程转化为一般形式而应直接把方程变形为：x（x-1）-2（x-1）=0后把左边因式分解为（x-1）（x-2）=0从而解得方程的解为x₁=1，x₂=2、

二、利用因式分解解特殊方程

例2：x²+y²-6x+4y+13=0

分析：本题利用完全平方公式使方程左边成为几个非负数的和，右边为0。从而确定几个非负数均为0求出x和y的值。

解：（x²-6x+9）+(y²+4y+4)=0

(x-3)²+(y+2)²=0

x-3=0 y+2=0

x=3 y=2

例3：已知整数x和y满足x²-4y²=13，求x和y的值、

分析：一般情况一个方程无法求出几个未知数的值，例2属于一种特殊情形。本题也是另一种特殊情形。注意本题中的x和y都是整数，所以只要把方程左边分解因式，右边分解因数形成几对方程组求出未知数的值。如果不是整数应舍去。

解：x²-4y²=13

（x+2y）(x-2y)=13

∵x和y都是整数

∴x+2y与x-2y也是整数

于是可得

x+2y=1

x-2y=13或x+2y=13

x-2y=1或x+2y=-1

x-2y=-13或x+2y=-13

x-2y=-1

解方程组得

x=7

y=-3或x=7

y=3或x=-7

y=3或x=-7

y=-3

二、利用因式分解整体代入求值

例4：已知xy=3，x+y=5，求x²y+xy²的值、

分析：因为根据同学们现有的知识还不能求出字母x与y的值所以应借助代数变形的一些手段寻找相同整体进行求值。

解：x²y+xy²=xy(x+y)=3×5=15

三、利用因式分解求特殊因数

例5：求出（232+1）（216+1）（28+1）在60以内的正整数因数。

解：264-1=（232+1）（232-1）=（232+1）（216+1）（216-1）=（232+1）（216+1）（28+1）（28-1）=（232+1）（216+1）（28+1）（24+1）（24-1）=（232+1）（216+1）（28+1）（24+1）（2²+1）（2+1）（2-1）=（232+1）（216+1）（28+1）×17×5×3×1

所以264-1在60以内的正整数因数有1，3，5，15，17，51。

四、因式分解判定代数式值的正负

例6：判定关于x的一元二次方程a²x²-（a²+b²-c²）x+b²=0的根的情况，其中a，b，c是三角形的三边。

分析：我们知道对含有字母系数的一元二次方程在使用根的判别式判定方程根的情况的过程中正常是使用配方法判定根的判别式的值的正负情况，实质我们更应清楚配方法适用于字母系数取任意实数即原题没有规定字母去值范围时。本题中字母系数并不可取任意实数，所以对根的判别式应当因式分解后结合字母的大小情况在对每个因式作出判定的基础上再对根的判别式值作出判定。

解：根的判别式=（a²+b²-c²）²-4a²b²=（a²+b²-c²+2ab）（a²+b²-2ab）=［（a+b）²-c²］［（a-b）²-c²］=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）

∵a、b、c是三角形三边

∴a＞0，b＞0，c＞0，a+b＞c，a+c＞b，a-b＜c

∴a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0

∴（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）＜0

∴原方程无实数解

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”