单摆周期公式的推广及应用

李丙刚

一、对单摆的认识

1、单摆的定义

单摆是实际的摆（如钟摆）的理想化，是指在一根不能伸长且没有质量的线的下端系一质点，这是一个理想化的模型。它忽略了次要因素，突出了主要因素，使定2、单摆的回复力在分析单摆运动时把重力分解，是因为摆球沿圆弧方向是变速运动。既有向心加速度又有切向加速度。向心加速度改变速度的方向，切向加速度改变速度的大小。如图，重力在切向方的分力提供回复力，在α＜10°时，α≈xt，F=-mgsinα=-mgα=-mgxl=-kx可以看成简谐运动。

二、单摆周期公式T=2πlg′的推广及应用

1、测量g是当地重力加速度，其中L摆长。

2、时钟快慢的成因与校正这两点不再赘述。

在此主要讨论公式字母g′的含义及变化。课本给出的单摆周期公式T=2πlg中的g′，我们用代替称“视重加速度”根据物体受力不同而变化，大致可以分为两类：

一类——物体在摆动过程中只有绳的拉力是变力，其它力均为恒力。此类可以认为g′在数值上物体相对于悬点静止（处在平衡位置）时悬线拉力跟质量的比值g′=F璽m，现就此类情况常见题目整理如下：

例1：把单摆放在竖直方向运动的电梯中，电梯正以α匀加速上升，求单摆T。

析与解：物体在最低点静止时，由牛顿第二定律F璽-mg=mα，故g′=F璽m=g+α，则T=2πlg+α

同理可推知：①当单摆在竖直向下加速的电梯中时T=2πlg-α，②这样当单摆在自由落体的环境中或放入绕地运行的卫星中时，单摆将不再摆动。T=2πlg-α=l0

例2：把单摆放在倾角为θ的光滑斜面上，做小摆角摆动。求周期T。

析与解：小球在平衡位置静止不摆动时受力（侧面图）如右图，F璗=mgsinθ。此摆的回复力是重力沿斜面方向分力mgsinθ切向分力。故g′=F璗m=mgsinθm=gsinθ ∴T=2π1gsinθ

例3：单摆放在以加速度α沿水平面向右的小车中，求摆动周期T。

析与解：球的平衡位置悬线在竖直线左侧如图，球相对车静止时线的拉力F璗=mg²+α²，故T=2π1g²+α²

例4：绝缘细线把带正电的小球固定在A点，空间有竖直向上的匀强电场，且qE＞mg，求摆球振动周期。

析与解：球平衡位置在悬点正上方，则g′=F璗m=qE-mgm。

∴T=2π1qE-mgm=2πmlqE-mg

二类——物体在摆动过程中除绳的拉力外，只有重力作用是恒力（或有其它力，但力的方向始终在物体与悬点连线的直线上）即只有重力提供回复力。此类公式中g仍是重力加速度。现就此类情况常见题目整理如下：

例5：如图，单摆处于匀强磁场中，摆球质量m带正电q，求振动周期。

析与解：摆球在平衡位置静止时不受洛伦兹力，摆球振动起来后洛仑兹力始终垂直运动方向，不影响回复力（mgsinθ）则g′=F璗m=mgm=g ∴T=2πlg

例6：两球带等量异种电荷电量q，用长为L的绝缘细线相连，一球固定，另一球悬挂做小摆角摆动，求振动周期。

析与解：摆动过程中，小球受的库仑力始终与运动方向垂直，回复力仍有重力提供，故“视重加速度”即是g，∴T=2πlg

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”