数学建模思想在“算用结合”课例中的应用

陈　力

背景分析：《数学课程标准（实验稿）》指出：“计算应该使学生经历从现实生活中抽象出数和简单的数量关系，在具体的情境中理解，并应用所学的知识解决问题的过程，应避免繁杂的运算，避免将运算与应用割裂开来。”为此，我们在教学中应该着力解决以下问题：一是知识从哪里来——让学生知道为什么要计算（为了解决问题）；二是知识是怎样的——让学生结合问题情境理解算理、掌握算法；三是知识到哪里去——让学生用计算进一步解决问题。解决以上问题的关键是怎样将“算”、“用”有机结合，构建行之有效的“算用互促”的数学模型，使“计算意义”成为“解决问题”的依据，用“解决问题”来解释“算理”。在实际教学中如果使两者结合得好，可以提高解决问题的效率。

课例研究：下面以课程标准实验教材二年级下册“混合运算”为例，探讨怎样利用数学建模思想有效应用“算用结合”。

教学片段：

一、情境导入，提出问题——为什么要计算（以“用”引“算”）

出示主题图“过河”：一群小学生上学途中要乘船过河，河边摆着许多船，每条船限乘9人。现在河边共有男生29人，女生25人，其中一个男生在想：至少需要几条船？

师：图中告诉我们哪些数学信息？

生：河边有29个男生，25个女生背着书包去上学。

生：河边有许多小船。小船上写着“限乘9人”。

师：“限乘9人”是什么意思？

生：就是每条船最多能乘9人。

师：图中要我们解决什么问题呢？

生：每条船限乘9人，要把这些学生运过河去，需要几条船？

二、建立模型，解决问题——理解算理、掌握算法（以“用”释“算”）

师：要求需要几条船，可以用什么方法来计算？请说出数量关系式。

生：总人数÷每条船限乘的人数=需要船的条数。（提出模型假设）

师：哪个信息还没有直接告诉我们？怎样解决？

生：“总人数”还不知道，可以用“男生人数+女生人数=总人数”求出。（利用数学模型解决中间问题）

师：请大家在本子上列出算式计算。

学生独立列式计算，然后汇报。（利用模型求解）

生：29+25=54（人），54÷9=6（条）。

师：请说说每一步分别解决什么问题？

生：第一步是“男生人数+女生人数=总人数”，第二步是“总人数÷每条船限乘的人数=需要船的条数”。

生：我是先算男生需要几条船，29÷9=3（条）……2（人），再算女生需要几条船，25÷9=2（条）……7（人），剩下2+7=9（人），正好需要一条船，所以3+2+1=6（条）。

师：你的想法有创意！

师：请大家将“29+25=54（人），54÷9=6（条）”列出综合算式。

学生独立列式，教师巡视，将学生列成的算式写在黑板上：29+25÷9

师：请各学习小组讨论这样列综合算式对不对？你能用什么办法来验证它是否正确？（让学生用前面提出的模型假设来验证运算顺序是否正确。）

生：这样列式是不对的，因为要先算“25÷9”，它是有余数的，和原来的得数不一样了。

生：前面在分步计算的时候，是先求总人数，然后按照“总人数÷每条船限乘的人数=需要船的条数”来算的，而这样列综合算式就不能先求“总人数”了，所以是错的。

师：那有什么办法让综合算式与分步计算的运算顺序一样呢？

生：要将综合算式中的“29+25”用小括号括起来。

师：（让这个学生在板书的算式中添上小括号）小括号有什么作用呢？

生：算式中小括号括起来的部分能够先算。

师：对，小括号的作用就是能够先算。请大家再和前面的数量关系对照一下，现在运算顺序是否一样了？（让学生根据数学模型体验小括号的作用）

让学生完整地计算“（29+25）÷9”，并说说它的运算顺序。

三、拓展模型，解释应用——让计算运用新情境（以“算”促“用”）

1.基本练习（模型应用）

（1）先说说运算顺序再计算。5×（36-29）；（83-35）÷6；94-（25+19）。

（2）算一算，比一比。18-9÷3；（18-9）÷3。

（3）列综合算式计算：三（1）班和三（2）班组成一个方阵参加广播操比赛，三（1）班有40人，三（2）班有41人，平均排成9行，每行有多少人？

2.变式练习（模型拓展）

（1）欢欢有10支铅笔，用去4支，剩下的送给2个小朋友，平均每个小朋友能分到几支？

（2）六（1）班共有学生52人，六（2）班有男生24人，女生25人，六（1）班比六（2）班多几个学生？

3.提炼概括（模型提升）

师：下面我们来总结解决两步计算问题的共同特征。（两步计算问题解决的共同模型及关键）

学生先小组讨论有哪些共同的特征，然后师生归纳得出：首先根据所要解决的问题列出一个关系式，接着根据关系式寻找所需要的信息，如果某个信息还不知道，要寻找出与它有关的数据，再根据关系式求出这个信息。其关键是：先解决中间问题，再解决最后问题，每一步的问题解决都要根据基本数量关系来进行。

解读：

在以往的教学中，计算和应用问题各自单独安排，如四则混合运算就纯粹地解决运算顺序，应用题教学中也没有学习小括号的任务。本次课程改革对“应用题”动了“大手术”：不再单独编排“应用题”章节，强调从运算意义出发进行思考，将数学与现实联系起来，让学生学习用数学的眼光、数学的思维、数学的方法去认识世界，主动解决所碰到的现实问题。倡导“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的学习模式和“原型——模型——应用”的知识呈现形式。教材之所以这样改革，是抓住了计算和应用问题之间的内在联系，使计算的意义成为解决问题的依据，而通过解决问题又可以加深对算理和算法的理解，两者之间是相互促进的关系，在教学中只有把它们有机结合起来，使它们“水乳相融”而不是“油水分离”。上述教学片段就是基于这样的思考来开展的，体现了以下特点。

1.在问题情境中计算。以往的计算教学是没有具体情境的，一般是通过复习旧知导入的。新课程强调计算教学要紧密联系学生的生活实际，在学生已有的生活经验基础上开展教学，能够激发学生的学习兴趣。因此，上述课例创设了学生上学途中乘船的情境，让学生从情境中发现数学信息，提出数学问题，发展学生收集信息、发现问题的能力。这是数学建模的第一步，即数学建模就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释、应用现实问题的过程。该课例中的整个计算教学，学生始终在问题情境中提出问题、探索算理、掌握算法，这是计算教学的一大改革。因为学生的计算是在问题情境中进行的，所以这样的计算不是单纯为了完成计算任务，它还有一个重要任务就是为了解决问题而进行计算，因此这样的情境有“以用引算”的作用。

2.在计算中解决问题。为了解决提出的数学问题，教师引导学生分析数量关系和解题思路，这是提高学生解决问题能力的重要手段。当前，有些教师存在困惑：在解决问题教学中要不要进行数量关系的分析？要回答这个问题，我们首先来分析一下“解决问题”的思维过程，在解决问题中要实现两个转化：（1）实际情境→数学问题；（2）数学问题→解决问题。在以往的教学中，第一个转化由教材编写者代替了，学生只需解决第二个转化。有些教师关注了情境的创设，关注了信息的收集，而忽略了数量关系的提炼，形成了“就题论题”现象，学生的每一次活动都只是一个孤立的“个案”，没有加以必要的“梳理”与“整合”，没有通过问题情境，探索并构建数学模型，也就难以实现结构化迁移，这样的教学也不是真正的数学建模学习活动，因为数学模型的核心要素是要用数学语言表述数学结构。因此，教学中应该让学生根据数量关系和解题思路独立地解决问题，学生在分步解决中想出了两种方法，教师及时进行了肯定，使学生体验到成功的快乐。

3.在解决问题中释算。在学生完成分步解决的基础上，教师及时引导学生列综合算式，此时又创设了一个新的问题情境：没有小括号的综合算式和分步的算式不一致。此时，教师引导学生充分利用数量关系和解题思路去验证综合算式是否正确，在引出小括号后，又用它们去解释、体验小括号的作用，达到了以“用”释“算”的功效。在解决问题的情境中，学生借助具体的数学模型进行检验和解释，使他们体验到小括号的引进是解决实际问题的需要，它的运用使原先产生的“矛盾冲突”得到解决，进而感觉到一种和谐美，并对认知活动留下了深刻的印象，体验到数学学习的价值，学生不仅理解了算理、掌握了算法，还顺利完成了解决问题的任务，而且负担不重，收到了一举多得的效果。

4.在释算中提炼升华。当学生得出具体的数学模型后，教学中还安排了拓展应用的环节。首先设计了基本练习（直接计算和用计算解决实际问题）以巩固和加深对基本模型的理解。接着安排了变式练习，这是对基本模型的拓展，使该计算模型应用到新的情境中去，达到“以算促用”的目的。通过练习，使学生明白对数学模型要进行灵活应用，防止机械套用。最后，对解决两步计算问题的共同特征进行了提炼概括，引导学生理出解决两步实际问题的知识链，形成认知网络结构，实现结构化迁移，提高解决数学问题的一般能力。在当前的教学中，不少学生不会分析数量关系，找不到两步计算的中间问题，讲不清解题思路。这些现象都与教师在教学中忽略对解决问题基本方法的提炼和总结有关，而这些基本方法对提高学生的数学思维能力和解决问题能力是很有作用的，它有别于解一定类型题的个别技能技巧，它是一种具有广泛迁移性的解任何题都需要具备的能力。可见，学生只有积累必要的基本数量结构，弄清数量结构之间的组合特点，才能在获取信息后形成解题思路，学会解决问题，并把零散的知识汇编成系统的网络，从而把握“问题解决”学习领域总的结构系统。

作者单位

浙江省武义县教育局教研室

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