Gorenstein内射维数性质的推广

王文锋，宋常修，江莲莲，张 翔

（1.滨州学院自动化系，山东滨州256603；2.即墨市创新中学 数学组,山东即墨266200；3.遵义师范学院数学系，贵州遵义563002）

Gorenstein内射维数性质的推广

王文锋1，宋常修2，江莲莲2，张 翔3

（1.滨州学院自动化系，山东滨州256603；2.即墨市创新中学 数学组,山东即墨266200；3.遵义师范学院数学系，贵州遵义563002）

推广了Gorestein内射维数的一些性质,证明了任何具有有限内射维数的模M都有内射预包.

Gorestein内射维数；Gorestein内射模；X-预解式

当R是双边的且是Noetherian时，Auslander和Bridger[1]对任何有限生成的左R-模M定义了G-维数，用G-dimRM来表示.在一般的环R中，Enochs和Jenda[2]定义了Gorenstein投射维数GpdR(-)及Gorestein内射维数GidR(-)，并且通过预解式来定义了Gorenstein内射模，Holm[3]研究了Gorestein有限投射维数.本文推广了Gorestein内射维数的一些性质.

文中假设R是非平凡的结合环，所有模如果不特别指出则是左R-模.用U(R)来表示所有R-模类，I(R)来表示内射R-模类，P(R)来表示投射R-模类.

1 分解类

定义1：(a)X内射分解：若I(R)⊆X,且对于任意的短正合列0→X'→X→X''→0（X'∈C），则X∈X⇔X'∈X，称它为X内射分解的.

(b)X投射分解：若P(R)⊆X，且对于任意的短正合列0→X'→X→X''→0，（其中X''∈X），则X∈X⇔X'∈X，称它为X投射分解的.

定义2：对于任意的R-模类X，左正交类和右正交类的定义如下：

定理1：(Eilenberg's Swindle)X是内射分解的R-模类.若X是可数直积封闭的，则X也是直和项封闭的.

证明：假设Y是X的直和项，X∈X，要证Y∈X.由题意存在Z使得X=Y⊕Z又X是可数直积封闭的,令W=Y×Z×Y×Z×L得到WX×X×L∈X.进而有WY⊕W，所以Y⊕W∈X.X是内射分解的，考虑正合列：

0→W→W⊕Y→Y→0其中W∈X，W⊕Y∈X,则Y∈X.此题得证.

定义3：对任意得R-模M，定义了两类预解式：(a)M的左X预解式是正合列:X=L→X1→X0→M→0其中对任意的n≥0,Xn∈X.(b)M的右预解式是正合列：X=0→M→X0→X1→L其中对任意的n≥0,Xn∈X.

现在假设X是M的任何一个预解式.则称X是真的，如果对于任意的Y∈X，序列HomR(Y,X)是正合的.同理来定义余真的，如果对于任意的Y∈X，序列HomR(X,Y)是正合的，则称X是余真的.

定理2：假设是R-模类.Mi是R-模的集合，则下面两条成立：

（1）若X对任意的直和封闭，且若每一个Mi都有(余真的)右X预解式，则CMi也有.

（2）若X对任意的直积封闭，且若每一个Mi都有(真的)左X预解式，则∏Mi也有.

证明：（1）利用X是直和封闭及(余真的)右X预解式的定义可证.（2）的方法相同.

2 Gorenstein内射模

定义4:若内射模的正合列I：L→I1→I0→I0→I1→L满足对任意的内射模Q,HomR(Q,I)是正合的,则称I为完备预解式.

定义5：左R-模称为Gorenstein内射的，若存在完备的内射预解式 I使得Mker(I0→I0).显然任何内射模都是Gorenstein内射的.用GI(R)表示所有Gorenstein内射R-模类.

定理3：R-模是Gorenstein内射的,当且仅当M∈I(R)⊥且存在真的I(R)-预解式.进一步说,若I是完备的内射预解式,则HomR(L,I)对于任意的具有有限内射维数的R-模L是正合的.相应的,当M是Gorenstein内射的则ExtRi(L,I)=0,任意的i>0及任意的具有有限内射维数的R-模L成立.

证明：⇒：M是Gorenstein内射的存在预解式0→I0→I1→L，Ii是内射模,由维数变换知ExtRi(X,M)= 0,∀X∈X,∀i>0.得出M∈I(R)⊥由Gorenstein内射的定义知存在真的I(R)-预解式.

⇐：M∈I(R)⊥，所以ExtRi(X,M)=0,∀i>0,∀X∈X, M存在真的I(R)-预解式.

定理4:Gorenstein内射模类GI(R)是内射分解的，即若0→M'→M→M''→0是R模的短正合列，其中M'是Gorenstein内射的，则M''是Gorenstein内射的⇔M是Gorenstein内射的.进一步说GI(R)是直积封闭的,且满足直和项封闭.

证明:由定义2的例子可得：I(R)⊥是任意直积封闭的,由定理2（2）知：有真的左I(R)-预解式的模类也是直积封闭的.因此GI(R)是内射分解的.我们来考虑R-模的短正合列：0→M'→M→M''→0其中M'是Gorenstein内射的.

（1）假设M''是Gorenstein内射的.由引理6.20[4]及定理3知M是Gorenstein内射分解的，

（2）假设M是Gorenstein内射的下面来证M''是Gorenstein内射的.由于I(R)⊥是内射分解的，则M''∈I(R)⊥由定理5只要证明M''有真的左I(R)-预解式.由假设知M，M'都有真的预解式：M=L→X1→X0→M→0，M'=L→X1'→X0'→M'→0.由定理8.13[5]可以得到同态：M'→M考虑下列复形的短正合列交换图：

M'→M是拟同构的,则C是正合的.若N是任意的内射模,则HomR(N,C)是正合的.则M''也是正合的,则M''是M''的左I(R)-预解式.为了说明它是真的,假设N维任意的内射模,对上图用HomR(N,-)作用,得到：0→HomR(N,D)→HomR(N,C)→HomR(N,M'')→0.第一行中：0→HomR(N,M')→HomR(N,M)→HomR(N, M'')→0是正合的.因为M'是Gorenstein内射的则显然剩下的行是正合的.HomR(N,C),HomR(N,D)是正合的,则HomR(N,M'')是正合的因此M''是真的.由定理1直接可得GI(R)是直和项封闭的.

定义6：Gorenstein内射维数GidR(-)：如果R-模M有长度为n的内射预解式,用GidR(M)≤n,n∈N0来表示,则称M的内射维数为n.用GI(R)来表示具有有限维数的Gorenstein内射维数的R-模类.

定义7：内射预包：是R-模类,M是R-模,M的内射预包是一个R-模同态φ:M→X,∀X∈X，满足HomR(φ,X'):HomR(M,X')→HomR(X,X')→0，是正合的.

定理5：M是具有有有限内射维数n的R-模,则 M有单的 Gorenstein内射预包 φ:M→G,C= corkerφ满足IdRC=n-1(若n=0,则C=0)特别地,M有真的长度为n的左Gorenstein内射预解式.

证明:取正合列：0→M→I0→I1→L→In-1→C'其中I0L In-1是内射的.由 [1]中定理3.18，则C'是Gorenstein内射的,因此存在正合列：0→G→Q0→Q1→L→Qn-1→C'→0，其中G,Q0,Q1L,Qn-1是内射的，使得HomR(Q,-)是正合的,当Q是内射的.因此存在同态I0→Q0使得下图交换：

上面图给出了复形的链同态：

这些链同态在同伦意义下是同构的.则它的映射锥是正合的,因此单射M→G⊕I0满足IdRC≤n-1因此IdRC=n-1.因为C具有有限的内射维数,由定理3知对任意的内射模G',ExtR1(C,G')=0则同态HomR(φ,G'):HomR(M,G')→HomR(G⊕I0,G')是单的,因此φ: M→G⊕I0是M的内射预包.

[1]M.Auslander,M.Bridge.Stable module theory[M].Providence:American Mathematical Society,1969.

[2]E.E.Enochs,O.M.G.Jenda.Gorenstein injective and projective modules[J],Math.Z.1995,220(4):611-633.

[3]H.Holm.Gorenstein homological dimensions [J].Journal of Pure and Applied.2004,（189）：167-193.

[4]Than Jacobson.Basic Algebra II[M].San Francisco:W.H.Freeman and Copany,1980.

[5]J.J.Rotman.An Introduction To Homological Algebra[M].New York,San Francisco,London:Academic Press,1979.

（责任编辑：朱 彬）

Generalization of Results for Gorenstein Injective Dimension

WANG Wen-feng1，SONG Chang-xiu2，JIANG Lian-lian2，ZHANG Xiang3
(1.Department of Automatic,Binzhou University,Binzhou256603,China;2.ChuangXin High School of Jimo City, Jimo266200,China;3.Department of mathematics,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China）

The characters of Gorenstein injective modules are studied and we prove that every module which has finite dimension admits an injective pre-envelope.

Gorenstein injective dimension;Gorenstein injective modules;X-resolution

O175.8

A

1009-3583（2010）-02-0068-03

2010-01-12

滨州学院青年人才科研项目基金（BZXYKJ0802号），遵义师范学院科研基金（2008024）

王文锋，女，山东汶上人，滨州学院自动化系助教，硕士，主要从事自动化与控制论的研究。