偏心受压构件极限承载力的实用计算方法

丁 烽，罗宗保，施文杰

（宁波市城建设计研究院有限公司，浙江宁波315012）

0 引言

矩形截面及圆形截面偏心受压构件的计算在《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》（以下简称《桥规》）中有明确规定。根据《公路桥梁抗震细则》JTG/T B02-01—2008（以下简称《细则》）第6.8条相关规定，延性墩柱剪力设计值Vc0的计算需要求解截面对应轴力下的极限弯矩，且《细则》中要求按现行公路桥涵设计规范相关规定验算墩柱强度，因此如何计算对应轴力下的正截面极限弯矩就成为摆在工程设计人员面前的一道课题。

现在有限元计算软件较为普及，计算偏压构件的极限承载能力不是一件难事，而本文将根据《桥规》提供的公式计算偏压构件的极限承载能力，这样不仅易于工程设计人员理解，且能保证在桥梁抗震计算中保持《细则》及《桥规》的一致性。

1 矩形截面偏压构件极限承载力实用计算方法

1.1 计算方法推导

式（1）、式（2）对应《桥规》公式（5.3.5-1）、（5.3.5-2）；式（4）、式（5）对应《桥规》公式（5.3.10-1）、（5.3.10-2）；式（6）对应《桥规》公式（5.3.1）。

当截面达到极限承载力时，式（1）、式（2）左右两边相等，由式（2）除以式（1）可得：

由式（4）、式（5）代入式（3）可得：

根据式（8）求出e0后，将e0代入式（5），如果ξ1≥1，则：

由于《细则》6.8条中求解的是轴力对应的极限弯矩，因此截面偏心距增大系数η=1，构件计算长度l0=0，因此：

最终求得Nd对应的极限弯矩Md

根据式（1）及式（7）可知，偏心受压构件的抗压能力肯定小于轴心受压构件，因此对式（1）中x的取值需同时满足式（11），根据工程实际，x适用条件如下：

根据已知条件及式（1）～式（12），通过试算混凝土受压区高度x，使式（1）左右两端相等，便可求得相应始偏心距e0，进而求得Nd对应的极限弯矩Md。

1.2 算法理论分析

根据式（1）、式（2）、式（12）可知，Ndu、Mdu是随受压区高度x增大而增大的单调递增函数。根据式（7）～式（9）可知，es、e0是随受压区高度x变化的函数f（x）。现在我们来判断函数f（x）的单调性。

当2a′s≤x≤ξbh0，截面为大偏心受压构件，σs=fsd，对式（7）求导：

当ξbh0≤x≤h0，截面为小偏心受压构件，σs=，对式（7）求导：

由以上计算可知，当2a′s≤x≤h0，es、e0是随受压区高度x增大而减小的单调递减函数。

通过试算x，使Nd=Ndu，此时Ndes≡Mdu，计此时的x为为为为。当x增大时，Nd＜Ndu、；此时Nd、Ndes满足式（1）、式（2）。当x减小时，Nd＞Ndu、Ndes＞Mdu、Md＞；此时Nd、Ndes不满足式（1）、式（2）。由此可见当Nd=Ndu时，为Nd对应的极限弯矩。

1.3 计算实例

例题1：已知C30钢筋混凝土桥墩，断面尺寸b=1 600 mm，h=1 200 mm，As=A′s=16Φ32=12 868 mm2，as=a′s=60 mm，fsd=f′sd=335 MPa，f′cd=20.1 MPa，求《细则》6.8条中对应轴力为6 000 kN，8 000 kN，15 000 kN，20 000 kN、30 000 kN时截面的极限弯矩。表1中的程序解为MIDAS CIVIL中的PUSHOVER计算值。

表1 1 600 mm×1 200 mm矩形截面极限承载能力汇总表

2 圆形截面偏压构件极限承载力实用计算方法

2.1 计算方法推导

已知条件：Nd，r，As，rs，求对应Nd的极限弯矩Md，计算简图如图2所示。

式中：A、B为有关混凝土承载能力的计算系数；C、D为有关纵向钢筋承载力的计算系数，以上系数可按《桥规》附录C计算。式（13）、式（14）对应《桥规》（5.3.9-1）、（5.3.9-2）。

当截面达到极限承载力时，式（1）、式（2）左右两边相等，由式（14）除以式（13）可得：

由于《细则》6.8条中求解的是轴力对应的极限弯矩，因此截面偏心距增大系数η=1，构件计算长度l0=0，最终求得Nd对应的极限弯矩Md。

公式适用条件（保持与《桥规》附录C中ξ取值一致）

根据已知条件及式（13）～式（16）可知，通过试算ξ（截面实际受压区高度x0与圆形截面直径的比值），使式（13）左右两端相等，便可求得相应初始偏心距e0，进而求得Nd对应的极限弯矩Md。

2.2 算法理论分析

根据《桥规》附录C可知，A、C是随ξ增大而增大的单调递增函数，因此根据式（13）可知，Ndu是随ξ增加而增大的单调递增函数。通过试算ξ，使Nd=Ndu，此时Nde0≡Mdu，计此时的ξ为，e0为，Md为。

e0随ξ的变化通过式（15）较难判断，可以通过绘图的方式来观察它的变化，图3绘制了直径1 200 mm的钻孔桩沿周边均匀配置20Φ25、20Φ28HRB335钢筋时的e0－ξ变化曲线。由图3可知，此时e0随ξ的增大而减小。

当ξ增大时此时Nd满足式（13）。当ξ减小时此时Nd不满足式（13）。由此可见当Nd=Ndu时，为Nd对应的极限弯矩。

2.3 计算实例

例题2：已知C30钢筋混凝土桥墩，断面尺寸为直径d=1 200 mm的圆，截面沿周边均匀配置20Φ28HRB335级钢筋，rs=525 mm，f′sd=335 MPa，f′cd=20.1 MPa，求《细则》6.8条中对应轴力为6 000 kN，8 000 kN，15 000 kN，20 000 kN、30 000 kN时截面的极限弯矩。表2中的程序解为MIDAS CIVIL中的PUSHOVER计算值。

表2 直径1 200 mm圆形截面极限承载能力汇总表

3 结论

（1）以上分析可知：对于矩形截面，通过试算混凝土受压区高度x；对于圆形截面，通过试算ξ，使已知轴力Nd与截面最大抗力Ndu相等，进而通过相关公式求得Nd对应的极限弯矩Md。由于Ndu是随x（或ξ）变化的单调递增函数，因此可以保证当Nd=Ndu时，x（或ξ）解的唯一性。

（2）对于圆形截面e0—ξ曲线与配筋率ρ相关，当ρ比较大、ξ在0.2附近时，e0为负值，其不是单调递减函数，但此时ξ对应的Ndu往往不具备工程实际意义。一般当ξ＞0.21时，e0是随ξ增大而减小的单调递减函数。

（3）该方法在EXCEL中应用及其方便，其计算精度取决于受压区高度x（ξ）的递增步长。

（4）通过比较程序计算结果和《桥规》公式计算结果可知，两者相对误差不大，对于抗震计算来说，能满足设计要求。

[1]JTG D62-2004,公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范[S].

[2]JTG/T B02-01-2008,公路桥梁抗震细则[S].

[3]张树仁.桥梁设计规范学习与应用讲评[M].北京:人民交通出版社,2005.

[4]赵志蒙,黄平明.结构设计原理计算实例[M].北京:人民交通出版社,2007.