与函数有关的高考试题分析

●钱建英 来国平 (长河高级中学 浙江杭州 310052)

与函数有关的高考试题分析

●钱建英 来国平 (长河高级中学 浙江杭州 310052)

1 考试要求

1．1 注重对函数基本知识的考查

主要考查函数的基本概念、基本性质和基本的计算、解题方法，多属于函数部分的基本练习或课本上题目的变形与创新，体现高考数学试题源于课本的命题原则．

1．2 注重对函数主干知识的考查

为了突出函数在中学数学中的主线地位，在每年的新课程高考试题中，除考查纯函数的知识外，函数方程的思想在其他试题中体现得淋漓尽致．

1．3 突出以函数为主的综合应用

函数与方程、数列、不等式、导数、解析几何、立体几何等的相互渗透和交叉一直是高考的热点，并且常考常新．

2 考点回顾

函数是高考数学中极为重要的内容．函数概念反映了现实世界中变量间的相互依存、相互制约的变化规律，函数的观点和方法是高中数学研究的对象，同时本身就是数学中常用的一种思想方法，广泛地渗透到高中数学学习的全过程及其他各学科中．同时函数又是学习高等数学的基础，内容极为丰富．纵观近几年的高考试题发现，函数(不含三角函数)在选择、填空、解答这3种题型中都有出现，占全卷的20%左右．既有容易题，又有中档题与难题．近几年的高考着重考查了二次函数(方程、零点)、分段函数、图像与性质、函数的单调性、最值、导数的运算、导数的应用、不等式等重要知识，以及等价转化、方程思想、数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法，对学生综合运用所学知识分析和解决问题能力的要求较高．

3 命题热点及生长点情况

近年来，有关函数内容的高考命题特点是:

(1)全方位:在近几年的高考题中，函数的所有知识点都考过，虽然不强调知识点的覆盖率，但每一年函数知识点的覆盖率依然没有减少．

(2)多层次:在每年的高考题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且选择、填空、解答题型齐全．低档题一般仅涉及函数本身的内容，如定义域、值域、单调性、周期性、图像、反函数(要求降低)，且对能力的要求不高;中、高档题多为综合程度较大的问题，或者是函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透．

(3)巧综合:为了突出函数在中学中的重要地位，近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力的综合程度，特别是函数、导数及其知识的综合应用．

(4)变角度:出于“立意”和“创新”的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新．重视函数思想的考查集中体现了函数与方程、数形结合、分类讨论等的思想方法．函数的类型较多，概念、公式较多，具有较强的综合性，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活．

4 典例剖析

4．1 函数在选择题、填空题中的考查类型

(1)从函数的概念及性质出发．

评注本题主要考查了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考查，属中档题．

(2)从函数的类型出发．

评注 本题主要考查对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属中档题．

图1

评注本题考查的是数形结合的思想方法．

4．2 函数在解答题中的考查类型

(1)函数与导数的结合，既求函数的极值与最值，又考查函数的单调性．

综上所述，f(x)在区间( －1，1］和［7，+∞)上是增函数，在区间(1，3］和［3，7)上是减函数．

评注此题属中档题，主要考查了导数的几何意义、用导数的知识求极值、函数的单调性．

(2)函数应用题与综合应用题考查的是学生的建模能力．

例5如图2，县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所

选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记点C到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y．统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k．当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0．065．

(1)将y表示成x的函数．

图2

(2009年山东省数学高考试题)

评注本题主要考查了函数在实际问题中的应用，运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题．

(3)函数与不等式、数列、向量、解析几何的综合问题．

表1 x的取值情况表

评注此题是高档题，主要考查函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识;考查了分类讨论的数学思想以及转化应用的能力;考查了综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．

精题集粹

1．定义在R上的函数f(x)满足

③若奇函数 f(x)对定义域内任意 x都有f(x)=f(2－x)，则f(x)为周期函数．其中真命题是 ( )

A．①② B．①③ C．②③ D．②

3．设函数 f(x)=g(x)+x2，曲线 y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 ( )

(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值;

(2)若函数f(x)在区间(－1，1)上不单调，求a的取值范围．

参考答案

1．C 3．C 3．A 4．D 5．8

6．解(1)由题意得

(2)函数f(x)在区间(－1，1)不单调，等价于导函数f'(x)在(－1，1)上既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数f'(x)在(－1，1)上存在零点．根据零点存在定理，有