区间数Fuzzy集的一种模式识别方法*

夏昊冉，胡永培

（安徽大学数学科学学院，合肥 230039）

Fuzzy逻辑是一门崭新的数学分支，它始于1965年美国自动控制论专家L.A.Iadeh的开创性论文“Fuzzy集合”.凭借Fuzzy集中的隶属原则和贴近原则，人们能够对问题做出较准确的评判和决策.但事物的特征信息存在着复杂性、模糊性和不确定性，如:一个测验，80分到90分为等级“良”，70分到80分为等级“中等”，一个考试估计分数在77分到82分之间，那么这个考生的成绩可能为什么等级，正如这样，得到的数据并非是一个确定的信息，而是一个区间或一个范围.针对这种情形，有学者提出了建立区间数Fuzzy集［1］，文献［2］给出一种区间数Fuzzy集的隶属原则，并介绍了一种模式识别的方法.郭春香，郭耀煌［3］提出格序决策理论，对区间数Fuzzy集做了研究.运用区间数Fuzzy集解决模糊综合评价的文献更是很多，比如文献［4］［5］.

此处基于区间数Fuzzy集知识，对文献［3］提出的“偏好距离”进行简化，并在贴近度的基础上，提出贴近区间概念，给出了一种新的区间数Fuzzy集模式识别方法，实例证明了该方法的可靠性和有效性.

1 预备知识

定义1 设A=［a－，a+］={x|a－≤x≤a+}，称A为区间数;若a－=a+，则称A为退化区间数;若0A，称A为无零区间数;若A=［0，1］，则称A为单位闭区间，记作I.

定义3 设X为非空普通集合，称映射f:X→［I］为X上的区间数Fuzzy集.X上所有的区间数Fuzzy集记为IF（X）;论域U上所有区间数Fuzzy子集构成的子集称为区间数Fuzzy幂集，记作IF（U）.

2 区间数Fuzzy集的序

根据文献［6］中的偏序概念，可以推出如下定理.

定理1 若P是一个区间数集合，∀A=［a－，a+］，B=［b－，b+］∈P，称P为一个偏序集，满足:A≤B⇔a－≤b－，a+≤b+.

从自反性、反对称性、传递性三方面容易验证.

3 区间数上的距离

可以根据实数上距离的定义，给出区间数上的距离，如下:

定理2 设A=［a－，a+］，B=［b－，b+］，则区间A与区间B的距离可以定义为d（A，B）=|a－－b－|+|a+－b+|.显然，这个距离的定义同样满足非负性、自反性和三角不等式.

文献［3］通过与两区间数的拟上下确界比较，计算其之间的“偏好距离”，得出这两个区间的“序关系”.此处提出如下定理，无须求其拟上下确界，简化了文献［3］中所提及的方法，但仍可以得到相同的结论.

首先，假设这两个区间是不具备定理1条件的“偏序关系”，否则“序关系”已经确定.

即对图1的b情况做讨论.

定理3 对于不满足定理1的两区间A=［a－，a+］，B=［b－，b+］，C为区间A，B的拟下（上）确界［3］;D=［d－，d+］为任意一个满足序关系D≤A，D≤B（A≤D，B≤D）的区间，则d（A，B）和d（B，C）的大小关系与d（A，D）和d（B，D）的大小关系相一致.

证明 不妨设a－≤b－，a+≥b+，C为A，B的拟下确界，则C=［a－，b+］，d－≤a－，d+≤a+;d－≤b－，d+≤b+;d（A，C）=|a－－a－|+|a+－b+|=a+－b+;d（B，C）=|b－－a－|+|b+－b+|=b－－a－.所以d（A，C）－d（B，C）=（a++a－）－（b++b－）.同理d（A，D）－d（B，D）=（a++a－）－（b++b－），所以d（A，C）－d（B，C）=d（A，D）－d（B，D）.即d（A，B）和d（B，C）的大小关系与d（A，D）和d（B，D）的大小关系相一致.

该定理说明，在求区间数的序关系时，对于不具备偏序关系的区间，只需利用距离定义，与某一“基准”比较即可.“基准”可以是拟上、下确界，也可以是其他区间.

实例1 （数据来自于文献［3］）

图1 两区间关系图示

以D为基准，利用定理3，得d（D，A）=0.003 7，d（D，E）=0.004 2，所以d（D，A）＜d（D，E），也就是A离E较近.有理由认为D＜A＜E＜C＜B，其判断结果与文献［3］相同.

注:若d（D，A）=d（D，E），可以认为A=E.

4 贴近原则

定义4 设A，B是论域U的区间数Fuzzy子集，则A，B交集A∩B，A，B并集A∪B，A，B的包含关系定义如下:

定义5 设A∈IF（U），有:

（1）HgtA=［maxA－（x），maxA+（x）］，x∈U叫区间数 Fuzzy集A的高度区间.

（2）DpnA=［minA－（x），minA+（x）］，x∈U叫区间数 Fuzzy集A的低度区间.

定义6（贴近区间）设对于每对A，B∈IF（U），有区间q（A，B）对应，满足:

（1）［0，0］≤q（A，B）≤［1，1］;（2）q（A，B）=q（B，A）;（3）A⊆B⊆C时，q（A，C）≤q（A，B）.

存在q（B，C），则称q为IF（U）中贴近区间，称q（A，B）为区间数Fuzzy集A与B的贴近区间.

证明

（1）显然［0，0］≤Hgt（A∩B）≤［1，1］，［0，0］≤Dpn（A∪B）≤［1，1］，则［0，0］≤q（A，B）≤［1，1］.

（2）q（A，B）=q（B，A），显然.

实例2 设一个目标跟踪系统有5个区间数Fuzzy模式（表1），现在有1个目标A*:

A*=（［0.402，0.412］，［0.2，0.221］，［0.102，0.135］，［0.385，0.421］，［0.428，0.472］，［0.521，0.552］），那么A*可能属于A1，A2，A3，A4，A5中哪个模式?

表1 目标跟踪系统的区间Fuzzy模式

解 运用定理4 算法，得出q（A*，A1）=［0.541，0.585］，q（A*，A2）=［0.535，0.595］，q（A*，A3）=［0.5，0.515］，q（A*，A4）=［0.451，0.4825］，q（A*，A5）=［0.4825，0.509］.则:

因为d（q（A*，A1），q（A*，A3））＜d（q（A*，A2），q（A*，A3）），所以A*与A2最为贴近，所以可以把A*归为模式A2.

［1］GORZALCZALCZANY M B.A method of inference in in approximate reasoning based on interval—valued fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1987（21）:1-17

［2］张兴芳，齐玉霞.区间值Fuzzy集的隶属原则及其应用［J］.聊城师院学报，1998，11:12-15

［3］郭春香，郭耀煌.具有区间数的多目标格序决策方法研究［J］.预测，2004，23:71-73

［4］刘俊娟.基于最大相对隶属度的区间数多指标评价在交通规划中的应用［J］.现代交通技术，2007（4）:59-72

［5］郭志林，陆凤玲.课堂教学质量的区间值模糊评判［J］.南阳师范学院学报，2005（4）:34-36