非线性半参数回归模型中参数的经验欧氏似然置信域*

方连娣

（铜陵学院文学与艺术传媒系，安徽铜陵 244000）

考虑非线性半参数回归模型:

其中f（.，.）为已知可测函数，g（.）是定义在［0，1］上的未知函数，（xi，ti）是在Rd×R上取值的可观测随机点列，εi是i.i.d.随机误差，其均值为零，方差σ2＜∞，β为待估计的p维参数向量.在模型（1）中，当f（x，β）=xτβ时，该模型即为部分线性回归模型;当g（t）=0时，该模型即为非线性回归模型;当f（x，β）=xτβ且g（t）=0时，该模型即为线性回归模型.因此，模型（1）是一类非常广泛的统计模型.

经验似然是由Owen［1，2］提出的一种非参数统计方法，在构造置信域方面有很多突出的优点，Qin与Lawless［3］将该方法引入到半参数模型，并提出可用欧氏距离代替距离.罗旭［4］对半参数模型构造经验欧氏似然函数，并讨论了得到的参数估计的大样本性质.由此，利用经验欧氏似然方法构造了模型（1）中未知参数的经验欧氏似然比统计量，在一定条件下，证明了所提出的统计量具有渐近χ2分布，并利用所得结果，构造了参数的渐近置信域.

1 主要结果

C7 对于t∈［0，1］，g（t）和hj（t，β）满足一阶 Lipschitz条件，1≤j≤p.

注:条件C1，C7是研究非参数所需的基本条件，C2，C6是研究非线性回归模型的正则条件.

定理1 假设条件C1－C7成立，如果β为参数真值，则:

2 定理的证明

为证明定理，先给出下面两个引理:

引理1 在定理1的条件下，当β是参数真值时，有:

对所有k=1，2，…，p均成立.

证明 类似于文献［5］，由条件C1和C5及密度核估计的一致相合性可证式（4）成立，在利用Bernstein不等式可证式（5）和式（6）成立.

证明 利用定理条件和引理1，类似于文献［5］即证.

定理1的证明 由引理2知:

由式（7）和式（8）知定理1成立.

［1］OWEN A B.Empirical likelihood ratio confidence intervials for a single function［J］.Riometrika，1988，75:237-249

［2］OWNG A B.Empirical likelihood confidence regions［J］.Ann Statist，1990，18（1）:90-120

［3］QIN J，LAWLESS J F.Empirical likelihood and general estimating equations［J］.Ann Statist，1994，22:300-325

［4］罗旭.半参数模型的经验欧氏似然估计的大样本性质［J］.应用概率统计，1994，10（4）:344-352

［5］冯三营.非线性半参数回归模型中参数的经验似然置信域［J］.数学物理学报，2009，29A（5）:1338-1349