关于一个向量等式的联想

430050 武汉第二十三中学 何同海

自从向量内容加入新教材以来，一直是高考的重要对象，而且随着广大教学教研者的关注和不断深入研究，我们对于向量及向量方法的理解越来越深刻.笔者在阅读和学习别人的研究成果的同时，也得出了一些启示，现整理成文和广大读者分享.

首先我们来看一个大家熟悉的向量等式和它的证明.

分析 向量等式中含有三角形面积，自然联想到正弦定理面积公式，考虑到等式中出现的量的对称性，若取出单位向量，则等式得到有效转化.

原命题可转化为证：e1sinα+e2sinβ+e3sinγ=0.

从而有e1sinα+e2sinβ+e3sinγ=0，故原命题成立.

由等式的结构，很容易联想到三角形五“心”的充要条件，通过对比，可发现以下结论.

联想1 若O为△ABC的重心，则

(这是三角形重心的充要条件)

联想2 若O为△ABC的内心，则

(a，b，c为三角形 ABC 三个内角 A，B，C 的对边，r为三角形ABC内切圆的半径)

(这是三角形内心的充要条件)

联想3 若O为锐角△ABC的外心，则

(这可以看成是三角形外心的充要条件.值得注意的是考虑到与引例的一致性，我们将条件强化为锐角三角形，实际上，对于一般的三角形，此结论仍然成立.读者可自己证明直角三角形和钝角三角形的情况.)

下面，我们尝试用我们得到的方法和结论解决一些向量问题.

说明 方法1是大家解决这道题的通常办法，方法2利用本文引例更加直观，一目了然.

说明 方法1利用角平分线的向量表示方法，利用平面向量基本定量，得到此值.方法2利用本文联想更有推广价值.

由联想3得

说明 方法1利用外心的性质反复构造关于待求量的方程，计算上较为繁琐.方法2利用本文联想3解决起来顺理成章，而且基本无计算.

法1 分析：由条件结构联想到向量的分解，再利用面积公式寻找关系，过P作AC，AB的平行线交AB于点M，交AC于点N，则有

联想本引理直接得

说明 方法利用向量的分解找到了P点的相对位置，确定了M，N边上的分比，从而发现了小三角形面积和大三角形面积的关系.方法2利用本文引例，采用统一的解决模式，很快找到了大小三角形的关系.

一个人力量是有限的，希望读者通过对本文的阅读，启发更多的智慧火种，将对本问题的研究不断深入下去，得出更多的研究成果.