Mathematica在《高等数学》教学中的应用初探

张楠

（重庆电子工程职业学院汽车工程系，重庆401331）

Mathematica在《高等数学》教学中的应用初探

张楠

（重庆电子工程职业学院汽车工程系，重庆401331）

数学是高等教育中重要的基础课程，其重要性和基础理论价值得到普遍公认。但由于数学学科本身的课程特点，特别是利用传统教学方法很难引起学生兴趣的问题，因此教师须更新教学理念和教学手段，使高等数学知识更加直观地呈现在课堂内容之中，以激发学生的学习兴趣；同时将理论知识传授与实践教学相结合，将Mathematica软件应用在教学过程中，让学生利用数学知识解决实际问题，更加深刻地掌握所学内容。

高等数学；教学改革；Mathematica软件

数学被公认为是高度抽象的学科。对数学科学的传统学习方法，都是从公理体系出发，沿着“定义→定理→证明→推论”的逻辑演绎道路行进。公理化体系的建立，体现了数学的高度抽象性和严密的逻辑性，使数学成为有别于其他自然科学的学科。

但是必须认识到，数学的抽象来源于对具体数学现象的归纳和总结。数学教学中要教会学生采用归纳与演绎并重的方法和实验的手段来学习和理解高等数学，强调对数学现象进行观察和研究，发现问题，通过自己的分析思考最终使问题得到解决，从而更加深入地理解和掌握数学的概念与方法[1]。

本文结合实际学习和科研应用的经验，介绍了基于Methematica软件平台的高等数学教学模式，并对其在课堂教学环境中的具体应用形式进行有益探索。

1 Methematica软件简介

Mathematica是一款科学计算软件，由Stephen Wolfram创建的Wolfram Research研发，它很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统与其他应用程序的高级连接；其功能强大，可以同时完成数值计算、符号演算、图像制作和编程等各项功能。随着时间的推移，Mathematica在相当广泛的技术和其他领域显示出其重要性，目前已被应用于诸多科学领域，包括物理、生物、社会学及其他学科。同时Mathematica还被广泛地应用于教学，从高中到研究生院有数以百计的课程。

2 Methematica软件在教学环节中的应用初探

高等数学课程有其固有的特点：高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性是数学最基本的特点，严密的逻辑性是数学理论的归纳和整理中必须遵循的规则。但这也造成了课程讲授内容高度的概念化和理论化，学生不易接受，甚至对基本概念的传授都有很大的难度。这时借助Mathematica的函数计算与图形演示功能就可以很直观地展示原本显得刻板的数学概念，能够有效地激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。“极限”是学生在学习高等数学之初就要掌握的数学概念，“极限”思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等都需借助于“极限”来定义。本文就以讲授极限部分课程内容时的实践经验为例来介绍如何将Mathematica软件应用于《高等数学》教学之中。

2.1 直观展示教学内容并实现课堂即时互动

高等数学教学过程中一个比较突出的问题是对概念、定理等基本内容进行讲解时，高度的理论化、概念化及抽象化不利于学生理解与掌握。同时，学生在课堂上被动地接受知识，也造成课堂气氛沉闷，学生对教学内容感到枯燥乏味。教师要在讲授过程中对这类基本知识进行具体化形象化的表述，通过举例直观地加以展现激发学生的学习兴趣。同时也通过举例引导学生在课堂上与教师进行互动，让学生由被动接受的客体转换为主动探索的主体。

极限是一个系统的知识体系，本文以几个概念的讲解过程为例展示如何在课程中使用Mathematica软件。

自变量趋于无穷大时函数的极限有如下定义：设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得对于适合不等式|x|＞X的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f (x)－A|＜ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限，记作f(x)=A或f(x)－A(当x→∞)[3]。

如果对此定义按照书本内容单纯进行文字性的讲解，无疑会让学生感到很枯燥。但如能配以一个函数的真实图形加以说明就会十分直观，学生也能更好理解。比如对于函数有其函数图形可用Mathematica软件绘制，如图1所示。学生可以直观地看到在其自变量趋于无穷大时，极限趋于0。

图1 Mathematica绘制的函数图形

除了要进行演示，在课堂上还要与学生进行互动，使之由被动接受的客体转换为主动求知的主体。这就需要设定必要的教学环节吸引学生主动参与。极限中有左极限和右极限的概念，并且当左右极限都存在，但不相等时，不存在。在讲授这部分内容时，教师可以预先找一个具有以上性质的函数。如：f(x)=e1/x，当x→0时，其左右极限存在且不等。先让学生自己用Mathematica软件求其左右极限，并发现这一现象（如图2所示），然后再进行分析讲解。这样不仅能够激发学生主动探索的兴趣与能力，也为教师讲授教学内容做好铺垫。

图2 用Mathematica计算函数f(x)=e的极限

2.2 开展高等数学实验引导学生自主学习

高等数学的重要特点之一是其本身有着广泛的应用性，在高职教学中尤其要强调和重视应用性的特点。通过课堂教学使学生掌握基本概念和理论知识后，要让学生通过实践深化这一概念，认识到高等数学虽然“高深”但距离我们的实际生产生活并不遥远，学习高等数学知识的目的是实现其应用价值。通过使用Mathematica软件在课后让学生开展高等数学实验，利用数学建模解决现实问题，可以很好地实现此目的。

仍以学习极限知识为例，我们通过让学生研究生活中常见的银行利息问题，便可以在加深其对极限知识理解的同时，体会其在应用中的现实意义。

首先给出一个真实的利率问题：假设一位顾客在银行开设了一个a0元的存款账户，银行每年会按照利率r支付利息。用an表示n年后在顾客账户中的存款总额。根据利率计算公式知：an=(1+r)na0。

我们设定的问题是：若银行改为每月结算一次利息，每月利率为r/12，n年后的本息之和是多少？若银行每天结算一次利息，每天利息为r/365，n年后的本息之和是多少？若银行每小时、每分钟、每秒钟结算一次利息本息又是多少？不失一般性，设银行每年结算m次利息，每个结算周期的利率为r/m，n年后的本息之和为多少？

下面我们就可以引导学生利用Mathematica软件解决这个问题。

（1）首先让学生了解数学建模的概念：当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，要在深入调查研究、了解对象信息、做出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式，也就是数学模型。然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。然后就可以建立计算本息之和的数学模型，此问题建模十分简单

（2）让学生先计算一个特殊情况：存款为1元，年利率为10%，存期为10年，利用Mathematica软件计算以下不同情况的本息和（如图3所示）：

从计算结果可以看出,随着结算次数的增加，1元存款10年后的本息总额越来越接近自然对数e。当m趋于无穷大时，结算周期变为无穷小，这意味着银行连续不断地向顾客支付利息，这种存款方式称为连续复利结算。

（3）在连续复利情况下，利用上面学过的极限知识和e的极限形式定义式：启发学生发现：

图3 用Mathematica计算得到的本息和

对于一般情况，可知：

这样就得到了连续结算方式下的n年后的本息额计算公式:bn=a0ern。

上面的实例意在说明通过利用Mathematica软件指导学生针对问题进行数学建模的训练，学生利用极限的知识解决了现实生活中的实际问题，使理论应用于实践，同时又通过实践加深了对理论的理解和认识，学生通过这样的过程逐步实现自主学习，巩固了课堂上学到的内容。

3 建议与展望

利用各类软件辅助教学在高等院校中已经受到了广泛的重视并正在各类课程中得到推广。但在基础学科，特别是数学类学科教学中的实践相对有限。作者在对Mathematica软件研究使用的基础上，结合《高等数学》教学内容和特点，提出利用此软件辅助教学的设想和初步的实践方案，为改善促进高职院校数学课程讲授形式和方法提供了一个现实可行的思路。

[1]李卫国.高等数学实验课[M].北京：高等教育出版社,2000.

[2]Wolfram Research.Wolfram Mathematica历史及背景[EB/OL]. [2010-10-29].http://www.wolfram.com/products/mathematica/ history.html

[3]同济大学数学教研室.高等数学(上册)[M].北京:高等教育出版社,2000:48

责任编辑 王荣辉

Investigation of Mathematica in Advanced Mathematics Teaching Processes

ZHANG Nan
(Chongqing College of Electronic Engineering,Chongqing 401331,China)

Mathematics is an important basic course in higher education,the importance and basic theoretical value are universally recognized.Because of the characteristics of mathematics itself and limit of teaching object and methods of higher vocational colleges,mathematics,especially advanced mathematics in traditional teaching process is difficult to arouse students’interest.Teachers need to renew the teaching conception and methods,which make the advanced mathematics knowledge more intuitive to present in teaching processes,in order to stimulate students’interest in learning.For combining theory with practice,let the students use the knowledge to solve practical problems,which promotes them master what they have learned in classes deeper.Applying Mathematica in teaching processes is a beneficial attempt for the reform of advanced mathematics teaching methodologies.

advanced mathematics；teaching reform；Mathematica

G642

A

1674－5787（2011）01－0089－03

2010-12-28

张楠(1981—)，男，河北秦皇岛人，博士，从事应用数学和力学研究。