关于方程ax=ax(a＞0，a≠1)的实数解

李 强

（大庆职业学院工商管理系 黑龙江 大庆 163000）

0 引言

我们经常会在数学分析的教科书里看到方程

的各种特例。 现在，我们就运用分类考查的方法，去研究在最一般的情况下，方程（1）的实数解的情况。

1 当x≤0 时

此时，易知：ax＞0，ax≤O

从而ax＞ax。 因此，此时方程（1）无解。

2 当x＞0 时

首先，易知：x=1 是方程（1）的解；其次，我们按a 从小到大的变化，分别考查方程（1）其它解的情况。

2.1 当0＜x＜1 时

方程（1）变为：

令f（x）=ax-ax，则f/（x）=axlna-a＜0。

因此，此时函数f（x）是单调减的。

当0＜x＜1 时，f（x）＞f（1）=0，方程（2）无解；当x＞1 时，f（x）＜f（1）=0，方程（2）仍无解。 故此时方程（2）仅有x=1 一个解。

2.2 当1＜a＜e 时

引人g（x）=ax/x-a，则

1）当0＜x＜1 时，g/（x）＜0，此时函数g（x）是单调减的。

于是有g（x）＞g（1）=0，方程（3）无解。

2）当1＜x≤1/lna 时，g/（x）≤0，此时函数g（x）仍是单调减的。

由g（x）＜g（1）=0 知，方程（3）此时无解。 特别地，有g（1/lna）＜0。

3）当x＞1/lna 时，g/（x）＞0，此时函数g（z）是单调增的。

因此，当l＜a＜e 时，原方程有l 与，x0（x0∈（1/lna，＋∞））两个解。

2.3 当a=e 时，

令h（z）=ex-ex，则

h/（x）=ex-e，h//（x）=ex

由h/（x）=0，得驻点：x=1。

又h//（1）=e＞0，故x=1 为函数h（x）的唯一极小值点，从而也是h（x）的最小值点。

于是有h（x）≥h（1）=0（等号成立⇔x=1）。故此时方程（5）仅有x=1 一个解。

2.4 当a＞e 时

此时的情形与2.2 时的情况相类似， 我们不妨借用一下其中的（3）式与（4）式。 由（4）式易知

1）当x＞1 时，g/（x）＞0，此时函数g（z）是单调增的。

于是有g（x）＞g（1）=0，方程（3）无解。

2）当1/lna≤x＜1 时，g/（x）≥0，此时函数g（x）仍是单调增的。

由g（x）＜g（1）=0 知，方程（3）此时无解。

特别地，我们有g（1/lna）＜0。

3）当0＜x＜1/lna 时，g/（x）＜0，此时函数g（x）是单调减的。

因此，当x＞e 时，原方程有l 与x1（x1∈（0，1/lna））两个解。

［1］[苏]T.M.菲赫金哥尔茨.数学分析原理[M].高等教育出版社.

［2］[加]G.Klambauer.数学分析[M].湖南人民出版社.