含有全称量词、存在量词的不等式成立问题的转化策略

☉湖北大学附属中学 李 俊

函数的最值以及含参数的函数的单调性与不等式恒成立的结合一直是高考命题的热点，特别是课改教材中引入了全称量词、存在量词等知识点之后，这一热点有持续高热之势.由于全称量词与存在量词的差异，对不等式两侧函数最值的要求也体现出了差异，以下给出有关全称量词、存在量词的不等式问题的转化策略.

（1）∀x1∈［m，n］，∀x2∈［a，b］，（fx1）≥g（x）2成立，则（fx）min≥g（x）max；

（2）∀x1∈［m，n］，∃x2∈［a，b］，f（x1）≥g（x2）成立，则f（x）min≥g（x）min；

（3）∃x1∈［m，n］，∃x2∈［a，b］，f（x1）≥g（x2）成立，则f（x）max≥g（x）min；

（4）∃x1∈［m，n］，∀x2∈［a，b］，f（x1）≥g（x2）成立，则f（x）max≥g（x）max；

（5）∀x0∈［m，n］，f（x0）≥g（x0）成立，则［f（x）－g（x）］min≥0；

（6）∃x0∈［m，n］，f（x0）≥g（x0）成立，则［f（x）－g（x）］max≥0.

下面用一个例子来说明以上6种情况的处理.

所以g（x）在［1，e］上单调递增.

综合①②可知，满足条件的a的范围为［0，1］.