数学理解水平评定方法及其数学模型构建研究

杨慧卿

（滁州学院 数学科学学院，安徽 滁州 239000）

数学理解水平评定方法及其数学模型构建研究

杨慧卿

（滁州学院 数学科学学院，安徽 滁州 239000）

数学理解的水平可以用量来刻画，而且是一个连续量，是一个模糊量。数学理解的因素一般由事实、计算、联系、分辨、表达、转化、推理、应用构成。结合数学学科和数学理解的特点提出了评价数学理解水平的定性和定量相结合的方法——加权求和法。

数学理解；数学理解水平；加权求和法；古林法；概念图

1 课题的提出

一直以来，不少数学教师认为学生的数学考试成绩高，学生对数学知识的理解就好；学生的数学考试成绩低，学生对数学知识的理解就差。实际上，学生的数学考试成绩并不能完全反映出学生的数学理解水平，数学考试成绩的高低与数学理解水平的高低并不能划等号。特别是经过强化训练形成的条件反射式的固化的解题操作，更不能完全反映学生的数学理解水平。

数学理解水平是数学教师在教学中应特别关注的。奥苏伯尔就曾指出，影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并应据此进行教学。［1］学习者已经知道了什么实际上就是学习者所处于的某种理解水平，而学生的这种理解水平正是后续内容教学的起点。探明学生的数学理解水平是教学工作的一个重要环节，如何探明则显得更为重要。

就目前数学教学而言，数学教师主要通过学生的作业、考试、课堂问答等方面的表现和教师个人的经验对学生的数学理解水平进行判断，由于评价标准模糊，可以说，教师难以对学生的数学理解水平作出准确的判断，对于学生在理解中所存在的问题也不易确定，这种状况对于及时纠正学生不正确的理解、对后继知识的教与学都有很大影响。究其原因，就是缺少较为科学的评定数学理解水平的量化指标和评定方法。

本课题正是基于上述情况而提出，目的在于建立评价数学理解水平的量化指标，构建评价数学理解水平的数学模型，形成评价学生数学理解水平的方法，便于数学教师较为准确地把握学生数学理解的水平，以提高数学教学的针对性和有效性，并采取有效措施，促进学生的数学理解。

2 关于“数学理解”

本课题的核心概念是“数学理解”，只有在对“数学理解”深刻认识的基础上，切实把握“数学理解”的本质特征，才能科学制定评定数学理解水平的量化指标，选择合理有效的数学模型，形成切实可行的评定方法。

数学理解自上世纪七十年代以来已成为数学教育研究的中心话题，国内外很多学者从不同的视角对数学理解的本质、数学理解的分类进行了深入的研究，形成了多种观点。

2.1 数学理解的本质

2.1.1 “数学理解”的网络联系说

希伯特和卡彭特在认知理论的基础上，提出了数学理解的网络联系说。他们认为，一个数学的概念或方法或事实是理解了，如果它成了内部网络的一个部分。理解的程度是由联系的数目和强度来确定的。说一个数学的概念、方法或事实是彻底地理解了，是指它和现有的网络是由更强的或更多的联系联结着。［2］

喻平提出的CPFS结构（即概念域、概念系、命题域、命题系）就是建立在网络联系说基础上的，CPFS结构是个体知识网络的核心成分，构成数学理解的必要前提，直接影响数学理解的深度、广度和精度。［3］喻平认为，对数学的理解意味着不仅要知道在什么条件下使用这条规则，会使用这条规则，而且还要知道规则产生的缘由和根据、规则适用的范围。

2.1.2 “数学理解”的表征转化说

莱斯在布鲁纳智慧生长与表征系统理论基础上，提出了理解的表征转化说。他们认为，数学概念可以通过操作物表征、图像表征、书面符号表征、口头语言表征和现实情境表征五中不同的表征方式进行表征。当学生能够将信息从一种表征方式转化为另一种表征方式时，理解就产生了。［4］

2.1.3 “数学理解”的实作说

哈佛大学柏金斯教授认为，对于促进理解的学习而言，拥有心智模型和心智表征并非表明了理解，理解意味着主动的做、活动、实践，意味在各种动态情境中的主体能动性的发挥。理解一个主题就意味着能够利用这个主题进行弹性实作——解释、证实、推断、联系和以一种超越知识与常规技能的方式进行应用。理解一个主题就是指能够利用所知道的有关这一主题的知识进行创造性的、有效的思维和行动。［5］

《理解性教学》（Wiske，1997）中也指出，理解是一种运用所学的知识灵活地思考与行动的能力，……，也是一种与机械背诵与固守答案相反的实践能力。［6］

上述三种观点从不同的视角阐释了数学理解的本质，相对而言，网络联系说和表征转化说反映了数学理解的“静态”本质，而实作说反映了数学理解的“动态”本质，而这也正说明对数学知识的理解不仅包括静态的结果的陈述性知识的理解，而且还包括动态的程序性知识的理解和过程性知识的理解。所以，要全面反映“数学理解”，不能仅以一种观点作为理论基础，而应以包含不同观点的融合的理解观作为理论指导。

2.2 数学理解的不同水平（层次）

到目前为止，对数学理解的不同水平（层次）的划分并无定论，但我们可以了解一下数学理解理论研究的发展。

代表人物 时间 理解水平（层次）的划分Skemp 1976年 工具性理解、关联性理解Byers ＆Herscovics 1977年 工具性理解、关联性理解、直觉理解和形式理解Herscovics ＆Bergeron 1983年 直观理解、程序理解、抽象理解、形式理解Perkins ＆Simmons 1988年 内容水平、问题解决水平、认识水平和探究水平田万海 1993年 初步理解、确切理解、深刻理解Pirie ＆Kieren 1994年 初步了解、产生表象、形成表象、关注性质、形式化、观察评述、组织结构、发明创造Kinch 2002年 内容水平、概念水平、问题解决水平、认识水平和探究水平吕林海 2003年 经验性理解、形式化理解、结构化理解、文化感悟与理解于新华 2005年 零层次、常识性层次、逻辑层次、观念性层次、无尽的层次于秀慧 2006年 经验型认识阶段、形式化认识阶段、关系型认识阶段、观念型认识阶段钟志华 2007年 识记性理解、操作性理解、直觉性理解、分析性理解贺真真 2007年 操作性记忆、概念性记忆、解释性理解、探究性理解

在《理解力培养与课程设计》中一则评价指导的说明，将数学理解的程度区分为：最低水平的理解、没有明显的理解、有限而肤浅的理解、适当的理解、较好的理解、成熟的理解、最为精当的理解。

以上关于数学理解水平（层次）的划分，虽然不尽相同，均表现出一定的主观性和模糊性，但都说明数学理解是有不同程度、层次和水平的，是具有一定的量的特征的，同时具有模糊性。理解不是全对、全错的结果，也不存在全有、全无的两个极端。任何学习都将带有一定程度的理解。［7］理解是一个整体的、动态的、分水平的非线性的发展，是一个进行中的过程，它是来回往返地逐步发展的，其发展是持续的，而且不会存在终点。［8］因此，数学理解的程度即数学理解的水平可以用量来刻画，而且是一个连续量，是一个模糊量。

3 关于数学理解的因素分析及其评价

《理解力培养与课程设计》采用多视角观点将理解用六个维度来表现，即解释、释译、运用、洞察、移情、自我认识，每个维度又分成了各种不同的水平。实际上，这六个维度也就是理解的六个主要因素。但这种六维度观缺乏数学的特征，不能全面反映数学理解。为此，笔者对六维度观的评价内容进行了认真的分析，结合数学的特征以及数学理解的本质，得出数学理解一般主要由以下因素构成：事实、计算、联系、分辨、表达、转化、推理、应用。

由于数学知识的理解不仅包括静态的结果的陈述性知识的理解，而且还包括动态的程序性知识的理解。“事实”主要反映的是对陈述性知识的理解，“计算、分辨、表达、转化、推理、应用”主要反映的是对程序性知识的理解，而“联系”既反映陈述性知识间或程序性知识间的联系，也反映陈述性知识与程序性知识之间的联系。

以下给出各个因素的含义及评价的主要内容：

事实，指知识单元内的名称、定义、符号、性质、公理、公式、法则等，评价的主要内容是对于这些陈述性知识在学生记忆中的多少、清晰程度。

计算，指标准情境下解决问题的方法和步骤。评价的主要内容是对这些方法和步骤的运用的熟练程度和精确程度。

联系，指知识间的关系，事实、方法的来龙去脉。评价的主要内容是学生记忆中所反映的知识间的联结的多少、密切程度。

分辨，指对问题的辨别、把握问题关键并提出有效方法以及辨别错误的能力。评价的主要内容是对问题、错误分辨的清晰程度和方法的有效程度。

表达，运用文字、语言、符号、图形等对问题呈现的能力。评价的主要内容是表达的准确程度、简明程度、流畅程度。

转化，指将非标准问题化为标准问题、将问题表达在文字、符号、图形间互化的能力。评价的主要内容是转化的灵活程度。

推理，指利用问题中的条件和相关知识，运用逻辑证明或数学运算推导出结论的能力。评价的主要内容是推理的严谨程度和合理程度。

应用，指能将所学知识有效地应用于新环境的能力。评价的主要内容是问题的熟悉程度、开放程度、复杂程度和答题的有效程度。

对于数学理解这些因素的评价，不同于一般知识的考查，不能光靠传统的考试，还需要通过包括观察、谈话、实践活动等方式的综合运用，这也是由数学理解的本质所决定。

4 数学理解水平的评定方法及其相应的数学模型

结合对数学理解的因素分析、数学理解水平的量的特征和数学理解水平的模糊性的考虑，同时考虑到评定方法的简易性，对数学理解的评价宜采取定性和定量相结合的方法——加权求和法。

4.1 利用古林法确定权重

根据笔者对数学理解各因素重要性的认识，得出数学理解水平各指标的重要程度值Ri，根据古林法，求出Ki、Wi.

这里我们就得到了一个关于评价数学理解水平的权重向量：

当然，有些数学内容不一定包含所有上述八个因素，所以数学理解水平的权重的确定还应结合学习内容、不同知识领域的特点来进行。

4.2 确定评价对象数学理解各因素的分值Vi

对评价对象数学理解各因素的分值的确定，应注意两点，第一，明确评价学习内容的范围，是一节、一章，还是一学期或是整个学段的学习内容。第二，这些因素分值的获得可以通过多种途径和手段，如前面提到的观察、谈话、实践活动、传统考试、作业等方式。对于数学理解因素中的事实、联系，还可以采用概念图（Concept Map）来评价并确定分值。

下面简要介绍一下概念图及其评价方法：

概念图是一种能形象表达命题网络中一系列概念含义及其关系的图解，由美国Cornell大学的Novak和Gowin基于Ausubel的学习理论在上世纪六十年代所开发。概念图由概念节点和带有标签的连线组成。节点表示某命题或知识领域的各概念，节点之间的连线表示概念之间的内在逻辑关系。概念、交叉连线和层次结构是概念图的重要特征，刘秀峰（1994）认为，通过概念的数量、层级的数量、交叉连线的数量和所举的例子的数量可以详细说明学生的概念图的质量。［9］实际上，概念图的质量充分反映了学生在事实和联系方面的掌握的程度。概念图不仅有助于教师评价学生的数学理解，而且有助于学生深化数学理解。

Novak和Gowin曾在1984年提出过概念图分析记分的标准，后来在1991年又进行了一些调整。这里我们参考Novak在1991年的记分标准，结合数学学科的特点，给出如下的记分标准：根据概念在学习内容中的地位不同将概念分核心概念、重要概念、一般概念，核心概念每个记10分，重要概念每个记5分，一般概念每个记2分；连线分关系连线（概念间的连线）和链接连线（概念下的定义、公式、公理、法则等），对于有效连线，每条关系连线记10分，每条链接连线记5分。关系连线反映的是联系，而概念、链接连线反映的则是事实。下面以四边形这一章为例进行说明，其中用实线表示关系连线，用虚线表示链接连线。

对于其他的因素计算、分辨、表达、转化、推理、应用的分值则可以在常规的考试、作业、观察、实践活动中得出。对于在不同的教学活动中所得的分值不应简单相加，可以利用古林法确定不同活动的权重，乘以不同活动中所得分值，再求和。

至此，我们就可以得出了关于“四边形”的数学理解因素的分值向量

4.3 计算数学理解水平值A

40分以下，很差；40－59，差；60－69，及格；70－79，中等；80－89，良；90－100，优

若某学生关于“四边形”的数学理解因素的分值向量V＝（75，90，75，85，80，75，75，70），则该学生的数学理解水平值

A＝75×.01＋90×.01＋75×.02＋85×.01＋80×.01＋75×.01＋75×.01＋70×.02＝77

根据这一数值，就可以判断某学生关于“四边形”的数学理解水平在中等水平。

上述计算看起来还比较麻烦，实际中只要利用EXCELL软件就可以很轻松地完成。

5 对加权求和法评定学生数学理解水平的评价

该方法采用多因素分析的方法对学生的数学理解进行解剖，是一个很好的教学反馈信息，可以使教师和学生清楚地认识到在数学理解的哪个方面存在问题，从而可以为教学中的调节环节指明方向。该方法计算相对比较简单，能够为大多数教师所接受。同时，该方法还能够对数学理解的因素、权重根据学习内容和评价对象的实际进行灵活的调整。

［1］奥苏伯尔等著，佘星南，宋 钧译.教育心理学：认知观点［M］.北京：人民教育出版社，1994.07.

［2］D.A.格劳斯.数学教与学研究手册［M］.上海：上海教育出版社，1999.04.

［3］喻 平.数学学习心理的CPFS结构理论［M］.南宁：广西教育出版社，2008.04.

［4］巩子坤.数学理解说及其理论与课程意义［J］.比较教育研究，2009（7）：40－43.

［5］吕林海.促进学生理解的学习：价值、内涵及教学启示［J］.教育理论与实践，2007.27（4）：61－64.

［6］Grant Wiggins ＆Jay Mc Tighe.么加利译.理解力培养与课程设计［M］.北京：中国轻工业出版社，2003.

［7］李士錡.PME：数学教育心理［M］.上海：华东师范大学出版社，2001.06.

［8］徐彦辉.数学理解的理论探讨与实证研究［D］.华东师范大学博士论文，2009.

［9］严文法，胡卫平.国外概念图的研究进展［J］.雁北师范学院学报，2005，21（3）：23－26.

On the Evaluation Method for Mathematical Understanding and Mathematical Model Construction

Yang Huiqing

Mathematics understanding level can be depicted with quantity，and it is a continuous and fuzzy quantity.The factors of mathematical understanding include fact，calculation，contact，distinguish，expression，transformation，reasoning and application.Combined with the characteristics of mathematical subject and mathematical understanding，the qualitative and quantitative method，which is also called the weighted summation method，is proposed for evaluating the level of mathematical understanding.

Mathematical understanding；Mathematical understanding level；The weighted summation method；KLEE method；Concept map

O119

A

1673-1794（2012）05-0010-04

杨慧卿（1969－），女，安徽天长人，硕士，副教授，研究方向：数学教育教学。

安徽省高校自然科学项目（KJ2011Z286）；滁州学院自然科学项目（2010kj010B）；安徽省教学研究项目（20101046）；滁州学院教学研究重点项目（2009jyz008）；滁州学院大学数学教学团队项目

2012-06-14