非线性偶阶常微分方程组边值问题的多重正解

胡 玲

（黄山学院 数学与统计学院，安徽 黄山 245041）

非线性偶阶常微分方程组边值问题的多重正解

胡 玲

（黄山学院 数学与统计学院，安徽 黄山 245041）

对非线性偶阶常微分方程组的边值问题，在一定的条件下，通过运用抽象的不动点定理，获得了正解的存在性和多重性。

边值问题；正解；多重性；格林函数；锥

一直以来，常微分方程边值问题的正解存在性受到了数学学科以及工程学科的广泛关注，如［1］［2］。就我们所知，现在的结论还停留在单个方程和简单的边值条件上。在［3］中，这样的问题被研究：

应用Krasnosel＇skii不动点定理，（1）的解的存在性可以得到，在［2］中，考虑了方程组的边值问题：

应用度理论，（2）的解也可以得到。注意到，（1）中仅有单个方程，而（2）中的边值条件很简单。由［2］［3］中研究的启发，本文研究如下边值问题的正解存在性和多重性：

其中f，g∈C（［0，1］×R＋，R＋），f（x，0）≡0，g（x，0）≡0，0≤i≤m－1。对于（3）的解的存在性的研究包括格林函数的性质，这在锥的定义上起了很大作用。Krasnosel＇skii不动点定理［4］是最终给出解的存在性的理论基础，另一个解的多重性的结论则需要另一个关于多重性的不动点定理。

下节中，我们首先给出一些记号和引理，主要结论，关于边值问题（3）的正解的存在性和多重性，将在第三部分给出。

1 引理

设G（x，y）是如下边值问题的格林函数：

容易得到

设Gk（x，y）是如下线性偶阶Lidstone边值问题的格林函数：

则由［10］我们知道

Gk（x，y）＝∫10Gk－1（x，ξ）G（ξ，y）dξ，2≤k≤ m。

显然，（u，v）∈C（2m）［0，1］×C（2m）［0，1］是边值问题（3）的解当且仅当（u，v）∈C［0，1］×C［0，1］是如下积分方程组的解：

积分方程（4）可转化为如下非线性积分方程

引理1Gm（x，y）满足：

显然P为E中的一个正锥。定义

引理2 算子A如上定义，则A：P→P是一个全连续算子。

综上所述我们知道，关于（3）的正解存在性问题可以转化为算子A的不动点存在性问题。

若以下两条之一成立：

（i）‖Au‖≤‖u‖，u∈P∩∂Ω1，并且‖Au‖≥‖u‖，u∈P∩∂Ω2

（ii）‖Au‖≥‖u‖，u∈P∩∂Ω1，且‖Au‖≤‖u‖，u∈P∩∂Ω2

2 主要结论

首先提出下列假设：

3）要从整体上提高竞技健美操运动员动力性力量难度动作的技术水平，应加强女子上肢力量和核心部位的训练，全面提高运动员的技术水平与体能，更深层次了解和运用难度动作的规格。

（A5）f（x，u），g（x，u）关于u是单调上升函数，且∃N′＞0，s.t.

定理1 若（A1）（A2）满足，那么（3）至少有一个正解（u，v）∈C（2m）（［0，1］，R＋）×C（2m）（［0，1］，R＋）满足u（x）＞0，v（x）＞0。

证明 由（A1），∃H1∈ （0，1），s.t.∀（x，u）∈ ［0，1］×（0，H1），有

另一方面，由（A2），存在四个正数μ，μ′，C1，C2使得

其中μ，μ′满足

通过直接计算可得

定理2 若（A3）（A4）满足，那么（3）至少有一个正解（u，v）∈C（2m）（［0，1］，R＋）×C（2m）（［0，1］，R＋）满足 u（x）＞0，v（x）＞0。

证明如定理1的证明。

定理3 若（A2）（A3）（A5）满足，那么（3）至少有两个正解（u1，v1），（u2，v2）∈C（2m）（［0，1］，R＋）×C（2m）（［0，1］，R＋）。

∈E：‖u‖＜N′｝，则由（A5），∀u∈∂BN′∩P，x∈［0，1］，得

因此

又由（A2）（A3）我们有

例题 下面给出一些例子说明上述结论。当m＝2时，

（i）设f（x，v）＝v4，g（x，u）＝u5，定理1条件满足，因此BVP（3）至少有一个正解。

［1］R.Y.Ma，Multiple nonnegative solutions of second－order systems of boundary value problems［J］.Nonlinear Analysis，2000，42：1003－1010.

［2］杨志林，孙经先，非线性二阶常微分方程组边值问题的正解［J］.数学学报，2004，47（1）：111－118.

［3］姚庆六，一般Lidstone边值问题的n个正解的存在性［J］.数学学报，2005，48（2）：365－376.

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［11］D.J.Guo and L.Lakshmikantham，Nonlinear Problems in Abstract Cones［M］.Academic Press，New York 1988.

Multiple Positive Solutions of BVPs for Nonlinear Even Order Differential Equations

Hu Ling

It is concerned with boundary value problems for systems of nonlinear even order differential equations.Under the suitable conditions，the existence and multiplicity of positive solutions are established by using abstract fixed－point theorems.

Boundary value problems；positive solutions；multiplicity；Green＇s functions；Cones

O175

A

1673-1794（2012）05-0007-03

胡 玲（1981－）女，安徽黄山人，硕士研究生，讲师，主要从事微分方程研究。

2012-07-12