基于絮凝体分形控制的絮凝动力学指标研究

赫俊国，刘 飞，欧阳力

(哈尔滨工业大学市政环境工程学院，哈尔滨150090)

絮凝是水处理工艺的关键环节，絮凝效果的好坏直接决定着后续工艺的运行工况，影响着最终出水水质和水处理的运行成本.因而，絮凝过程的动力学控制和形态学控制一直是水处理学科研究的热点与难点[1-4].絮凝的实质是使混合工艺中析出的絮凝体凝结，并达到一定的尺度与密实度，从而有利于沉淀，实现清浊分离的目的[5].能否形成结构良好的絮凝体，是整个给水处理工艺的关键[6-7]，而结构良好的絮凝体应具有一定的密度(Floc Density)和强度(Floc Strength).本研究基于分形理论，推求絮凝体的密度和强度的表达式，通过基于絮凝体分形维数控制的动力学模型的建立，确立控制絮凝效果的综合指标，以期对絮凝工艺进行动力学控制与絮凝体形态控制，并为实际工程的工艺设计和运行提供了合理的依据.

1 絮凝体的分形维数

分形理论(fractal theory)是由美籍法国数学家曼德布罗特(Mandelbrot)在1967年提出的[8]，具有分形特征的是复杂系统，其复杂程度可以用分形数维来描述.絮凝体的形成和生长也可以通过分形维数来进行描述和分析.

按照分形的定义，物质的质量M与其特征长度dp之间具有如下关系[9].

其中:M为絮凝体的质量;dp为颗粒的粒径;Df为分形维数.

对于絮凝体，通常以其当量直径dp(与平面投影面积相同圆的直径)作为特征长度.对于三维欧几里德体系，Df=3;而对于非欧几里德系统，Df＜3.具有Df＜3的性质的物体就是分形体，Df称为分形维数.

传统的絮凝体研究表明，随着絮凝体粒径的增大，其密度呈降低的趋势，这种关系一般符合絮凝体密度ρ与粒径dp的Kp次方成反比的普遍规律:

即

用常规得欧几里德几何量度将式(1)写为:

其中:Vp为物体的体积;α为几何因子，对于球体，α=4π/3.

将式(3)代入式(4)得到:

综合式(1)和式(5)可以得到，絮凝体的分形维数为:

这一结果表明，只要Kp＞0，絮凝体的分形维数身就小于3(对于三维体系)，呈现出分形的特征.这是由于絮凝体的成长过程是一个随机碰撞过程，具有典型的分形特征.

2 絮凝体的密度与强度的推求

2.1 分形体系下絮凝体的密度的推求

设组成絮凝体的初始颗粒的特征长度L0，形状系数为 α0，密度为 ρ0，则初始颗粒的质量为[10]:

设絮凝体的形状系数为α，聚集系数为β，特征长度为L，对于分形体系(而非三维欧几里德体系)，絮凝聚集体内含有的初始颗粒数N可表示为:

式中，令 ψ=βα/α0，则絮凝体的质量为:

絮凝体的体积通常有两种定义:包裹体积(encased volume)和固有体积(solid volume).包裹体积指絮凝体整体边界内包含的所有空间;絮凝体的固有体积指絮凝体内所有初始颗粒所占有的空间体积.对于分形体系，絮凝体的包裹体积可表示为:

絮凝体的密度定义为单位包裹体积内所有絮凝体的质量，即

将式(9)和式(10)代入上式，可以得到分形体系下，絮凝体的密度表达式:

可以看出，絮凝体的密度是分形维数Df的函数.

2.2 絮凝体的强度分析

絮凝体的强度能够反应分形维数与动力学指标的关系，它决定着形成的絮体颗粒的最大尺寸，对絮凝池的合理设计具有重要意义，对后继工艺的固液分离也具有重要影响.

在固定的搅拌条件下，絮凝体能够达到的最大尺寸由絮凝体的黏结力和流体对絮凝体的湍流破碎力这两个相反的力决定[11].

黏结力B(g·cm/s2)与絮凝体的净截面积An(cm2)成正比，如下式:

对于直径为dp(cm)的絮凝体，设其空隙率为ε，其净体积Vn(cm3)可表示为:Vn∝d3p(1-ε)，则絮凝体的净截面积为:

由式(13)和式(14)可得:

另外，由絮凝体的物料平衡可以得到:

其中:V、Vε分别为絮凝体和絮凝体中水分所占的体积(m3);ρw、ρ0、ρs分别为水、原水初始颗粒、絮体颗粒的密度(g/cm3).

絮凝体的有效密度表达式为:ρe=ρs-ρW，Tambo[12]等通过摄影的方法测定静水样中离散絮凝体的速度和直径，得出的密度函数为，其中系数α和Kp仅与ALT比(铝离子投量/浊度)有关.在通常的投药量范围内，Kp=1.0～1.4，并随ALT比的增大而增大.所以有:

将式(17)代入式(16)中，处理后得到:

在同样的絮凝条件下，假设 ρ0-ρW、Kp、α均为常数.将式(18)代入式(15)，则絮凝体的黏结力B可以表示为:

上式结合分形维数表达式Df=3-Kp可以得到:

另一方面，微涡旋作用在絮凝体上会产生使絮凝体破碎的湍动力.作用在直径为dp的絮凝体两相对侧面的单位面积上的动力差Δf为:

其中u1、u2为距离为dp的两点上水的波动速度;表示的是上述两个速度之差的平均绝对值;令

在Kolmogoroff的局部同性湍流假设条件下，u在惯性区及黏性区的表达式如下:

上两式中，μ为动力黏滞系数(g/cm·s);ε0为微涡旋的特征能耗值，即单位质量流体的输入功率(W/kg);α、β为常数，其值大约为

将式(22)和式(23)代入式(21)，并乘以絮凝体表面积，可以得到两区总破碎力的表达式如下:

在实际中一般絮凝体的破碎主要发生在黏性区，其临界条件是黏结力B与破碎力ΔF相等.絮凝体的强度一般用kσ表示，kσ可描述为B与ΔF的函数，如下式:

结合式(20)和式(25)可得:

式(27)表明，絮凝体的强度与微涡旋的特征能耗成反比，同时也是颗粒分形维数的函数.式(28)进一步表明，絮凝体的强度kσ与水体的G值的平方成反比.

3 基于絮凝体分形维数控制的絮凝动力学指标的数学分析

当温度、pH值、混凝药剂的性能均相同的条件下，絮凝过程的主要影响因素为反应池空间尺度、空间流体的流速、流体密度、流体黏度、原水水质、能量消耗.即影响絮凝过程的因素为:反应池的长度尺寸L、宽度尺寸B，高度尺寸H、空间流速u、水体密度ρ、水体黏度ν、原水颗粒平均粒径d、原水颗粒的量N、能量损失h等.絮凝体的分形维数Df受到混凝过程中这9个物理量的影响，可用下式表示:

在有关量中选取L，u，ρ作为基本量，量纲均采用国际标准:

基本量的个数为3个，则π数为10-3=7个，用基本量表示为:

采用量纲和谐原理确定各π项的基本量指数，计算得到:

将以上计算结果代入式(29)，可得:

令

则

另外，采用机械搅拌的絮凝过程，以能耗计算G值的方法如下:

则有以下推导:

变换可得:

需要说明的是，此处的G·T是雷诺数Re的另一种表达形式，是表征搅拌能耗和搅拌持续时间的综合指标，与传统意义上分级控制的絮凝控制指标GT具有不同的意义.

综合式(31)与式(33)可以得到:

由式(34)可以看出:当参数K表征的反应池设备的形式及原水水质一旦确定，由絮凝产生的絮体的分形维数受两个动力学综合指标的控制，即水体的能耗输入GT和剪切强度Fr.

4 高效絮凝过程的动力学控制与絮凝体形态控制

式(34)中，K是反映设备的长宽比、长高比、水体单位体积颗粒数和颗粒平均粒径的参数.在设备的尺寸确定后，单元体积水体的颗粒数及颗粒平均粒径是参数K的主要控制因素.当原水水质和投药发生变化时，会影响K值的范围，进而对絮体的分形维数产生影响.根据式(34)，此时可改变GT值及Fr，即改变水体的能耗输入和剪切强度，从而对絮体的分形维数进行控制.

絮凝过程中，所形成的絮凝体过大，其密度将趋近于水的密度，沉淀效果就差;反之，所形成的絮凝体过小，其密度将趋近于分子或分子团密度，受水流脉动的影响很大，沉淀效果也不会好[5].所以，形成具有一定密度和强度的结构良好的絮凝体，是絮凝过程的关键.由式(12)可知，絮凝体的密度是分形维数的函数;由式(28)可知，絮凝体的强度与能耗成反比，同时是分析维数的函数;而式(34)给出了分形维数与动力学指标的关系，即控制实际反应池中的G与GT值和Fr值指标，可控制絮体分形维数，从而控制絮体密度与强度.

由絮凝体强度的表达式(28)可以看出，水体能耗越多、速度梯度越大，水体的剪切强度就越大，絮凝体越容易遭到破坏，可见，絮凝过程不能单纯追求水体能量输入的增加.另一方面，由絮凝体分形维数的表达式(34)可知，当颗粒的强度不变时，如果能耗增加、G值增大，则絮凝体的分形维数增加;反之则减小.絮凝过程应保证絮凝体达到一定的分形维数;同时，为了防止絮体破碎，应增加絮凝体的强度.所以，在絮凝前期，应保证较高的能量输入、较强的剪切强度，以增加絮凝体的尺度与分形维数;絮凝后期，应减少能量输入、降低剪切强度，以保证絮凝体强度的增加.因此，高效的絮凝过程需要控制一定的能量输入G、GT和剪切强度Fr的递减梯度，并保证絮凝体达到一定的分形维数Df.关于G、GT、Fr值等指标以及絮凝体分形维数Df的合理控制范围在下一步试验研究中确定.

5 结论

1)推求出絮凝体的密度和强度的表达式，得到絮凝体的密度是分形维数的函数;絮凝体的强度与水体的能耗成反比，同时也是絮体颗粒分形维数的函数.

2)得出絮凝体分形维数是能耗与剪切强度的函数，确立絮凝动力学综合指标为能耗输入G、GT和剪切强度Fr.在实际工程中通过控制G、GT值和Fr值，可以控制絮体分形维数，从而控制絮体的密度与强度.

3)动力学和形态学两方面的分析表明，高效的絮凝过程需要控制一定的能量输入G与GT及剪切强度Fr的递减梯度，并保证絮凝体达到一定的分形维数Df.

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