“代数式求值问题”的解题方法

张彦杰

（濮阳市职业中专，河南 濮阳 457000）

“代数式求值问题”的解题方法

张彦杰

（濮阳市职业中专，河南 濮阳 457000）

本文就“代数式求值问题”，从变形这个角度进行分类，并给出相应的解法。通过掌握数学方法解决数学问题是高效率数学教学的途径。

整体代值；因式分解；倒数；非负数的性质

代数式求值问题是数学教学中的基本内容之一，熟练掌握代数式求值问题是数学教学的基本要求，而代数式求值问题形式多样，变化丰富多彩。代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切，许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用因式分解、分式的性质、倒数、韦达定理、非负数的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值。

一、整体代值

此类型是代数式求值问题中的基本类型，其中又蕴含了一种重要的数学方法——换元法，因此显得非常重要。

二、发掘隐含条件

适时发掘题目隐含条件，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用实数运算性质，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值。

解：因为abc＜0，所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数；又因为a+b+c＞0，所以a、b、c中只有一个是负数.不妨设a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0故将代入要求的代数式得到结果为1.同理，当b＜0 或a＜0时，要求的代数式得到结果仍为1.

三、利用非负数的性质求值

若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用.

例3 若x2－4x+|3x－y|=－4，求yx的值.

分析：x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解.

解：因为x2－4x+|3x－y|=－4，所以x2－4x＋4＋|3xy|=0，即 (x-2)2+|3x－y|=0.

得x-2=0，3x－y=0，解得x=2，y=6，故yx=62=36.

四、设参数法求值

如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法.

五、利用分式、根式的性质求值

分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此这里只举一个例子略做说明。

分析：计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂.因为这样一来，原式的对称性就被破坏了.

解：由题设知

六、利用倒数

分析，两个分式比较简洁、对称，又有某些内在的联系，但分母均为多项式，不易化简求值，若利用倒数，可使问题简单化。

七、利用韦达定理

例7 已知实数x、y、z满足x+y=5，z2=xy+y－9,求x+2y+3z的值.

按给定条件，两个方程三个未知数，无法求出未知数的具体值。本体技巧在于运用韦达定理，找到突破口，使问题简化。

八、利用因式分解方法

因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用。

分析x的值虽已给出的，但直接代入求值，将会很麻烦.我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件。

在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答。

G424.1

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1008-7427（2012）08-0145-01

2012-06-14