让学生经历“数学化”过程
——课例“平行线的判定1”教学实践与思考

●

(金华市教育局教研室 浙江金华 321000)

让学生经历“数学化”过程
——课例“平行线的判定1”教学实践与思考

●傅瑞琦

(金华市教育局教研室 浙江金华 321000)

“数学化”过程是“抽象—符号—应用”的过程(弗赖登塔尔)，是从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程.数学化有横向数学化和纵向数学化之分，在弗赖登塔尔看来，横向数学化“是把生活世界引向符号世界”，而“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”，则是纵向数学化,正是这2类“数学化”，恰好体现了数学的发生和发展过程.但是，一些教师由于对教材理解的偏差，课堂更多关注知识本身，常常存在“去数学化”现象，如呈现情景不能有效地唤醒学生已有的生活经验，结论的得出、定理的归纳没有充分地展现学生的思考，直接将实际问题提炼成数学问题，学生就失去了体会思维方法和思想方法、在数学化过程中发展能力个性的机会.基于此，本文结合课例“平行线的判定1”的教学实践，探讨如何引领学生经历数学化过程，探索、掌握和应用数学知识，并总结反思.

1 课例过程呈现

1.1 创设情境，引入新课

播放皮划艇静水项目比赛的视频，教师解释皮划艇比赛规则，让学生带着问题观察：

(1)各皮划艇航线之间有怎样的位置关系？

(2)皮划艇冲向终点时，皮划艇的航线与终点线有怎样的位置关系？

(3)为什么各皮划艇的航线与终点线保持垂直就可以保证航线相互平行？

这是来自现实的任务，首先要求进行横向数学化，生成数学与生活的联系，让学生从实际问题思考剥离出数学问题.将教材中自行车骑车线路问题调整为皮划艇比赛的情景，在图形直觉上更有平行线的感觉，容易抽象出平行线.让学生经历结合图形直觉来判定直线互相平行的过程，认识到用定义来判定2条直线平行的困难，体会“为什么要学习平行线”，激发有意义学习的心向.

1.2 引导探究，发现新知

观察视频后，教师出示如下问题，让学生动手画、动脑思考的基础上，演示动画过程.

图1 图2

问题如图1，若你是一位皮划艇运动员，现在位置在点P，l1为另一皮划艇航线，你能画出你自己的航线l2吗？

在学生画图后，引导思考问题：

(1)在画图过程中，哪一对角始终保持相等？

(2)如图2，把l1与l2看成被尺边l3所截，那么这一对是什么角？

(3)由此你可以得出一个什么结论？

为学生搭建合适的数学活动，让每位学生都能动手画图，积极参与其中，并在动画演示中关注画图过程始终保持相等的一对角，完成归纳概括，获得利用同位角相等来判定平行线的方法，这是纵向数学化过程.在此过程中，学生经历了数学探究和归纳的过程，感受平行线判定公理实际上是“三线八角”图形的一种特殊位置，体会“判定平行线的方法”的优越，发展学生思维的逻辑性和条理性.

1.3 尝试运用，巩固新知

(1)在图3和图4中，如果要说明AB∥CD，请你找出一对相等的角？

图3 图4

(2)图5是一个挂物架,为了说明AB∥CD,你认为需要验证哪2个角相等?

利用你的拇指与食指来做一个游戏，在同一平面内，你能根据今天学过的判定方法来构造平行线吗?请与同桌交流.

图6是学生展示的手型，让同伴指出判定手指所在的直线平行的一对相等的同位角.

图5 图6

例1已知直线AB，CD被EF所截,如图7，∠1=45°,∠2=135°,试判断AB与CD是否平行，并说明理由.

对例题的分析，教师设计问题清单，分析思路，并规范板书.

(1)猜测AB与CD平行吗？

(2)要说明AB与CD平行，关键找什么？

(3)如果∠1=45°，那么能得出∠3=45°吗？

图7 图8

变式练习如图8,已知直线AB，CD被EF所截,如果∠2+∠1=180°，请判断AB与CD是否平行,并说明理由.

通过图形变式，更为准确地理解判定方法的本质特征、内涵和外延；让每个学生积极参与，将学生已有的生活体验和教师制定的学习目标之间建立起联系的桥梁;例题教学时本节课的难点，以问题清单的形式来引导思考，让学生经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观，体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以说明的过程.

另外，安排适当的问题进行巩固，并让学生结合图形用符号语言表示，简洁地描述文字语言和图形间的关系，是培养学生掌握几何语言的重要手段，是“纵向数学化”的表现.学生的书写及教师的及时反馈，让学生进一步领会证明书写的规范要求.

1.4 用于生活，体验成功

问题1为什么每只皮划艇都沿着垂直于终点线的方向行驶，就能保证航线互相平行？

分析画出几何图形即可转化为数学问题，其问题转化为：如图9，已知AB⊥EF，CD⊥EF，得到AB∥CD，你能说明理由吗？

图9

引导学生共同归纳：在同一平面内，垂直于同一条直线的2条直线互相平行.

问题2如图10，在比赛过程中，一皮划艇在前进过程中，不慎向右偏转5°，为了与原来的方向保持一致，该运动员应如何调整航向？

分析要使后来的方向与原来的方向一致，那么后来的航向与原来的航向有怎样的位置关系？让一学生画出后来的航向，并回答只要保证哪一对角相等即可求解(如图11所示).

图10 图11

一艘皮划艇在前进过程航向偏离的实际问题，借助直观的几何图形，就变得简明、形象.再回到现实问题的情境，去体验和解释其实际意义时，又是一个横向数学化的过程.利用几何直观来描述和分析数学问题，有助于探索解决问题的思路.

1.5 理顺所学，归纳小结(略)

1.6 延伸提高，挑战自我

练习甲、乙2艘船只分别从港口A，B出发，下列情况中，甲、乙船的航线是否互相平行，试说明理由.

(1)港口B在港口A的正东方向.

①如图12，甲、乙2船都沿北偏东30°方向行驶；

②如图13，甲船沿北偏东30°方向行驶，乙船沿南偏西30°方向行驶；

图12 图13 图14

(2)如图14，甲、乙2船都沿北偏东30°方向行驶.

设计有层次的问题组，围绕平行线判定方法这一中心展开和深化.第(2)小题的求解，体现了分类思想,让不同思维层次的学生都可以参与,使相应的核心知识、重要思想成为一个有机整体.

1.7 作业布置，分层要求(略)

2 教学实践的思考

2.1 反思课堂“数学化”过程

教材把“同位角相等，两直线平行”作为公理看待，在教学时,如何让学生发现、归纳、体现“数学化”过程，本课例中作了有益的探索.从八年级学生的思维特点分析，他们正处于从直观形象思维向抽象逻辑思维转折的时期.在教学时，经历现实生活中平行线的实物情景，通过回顾推平行线法画图，引导学生操作、观察、归纳概括出这种画法的本质.在学习中经历“生活经验的直观感知—操作确认—抽象概括—理性思辨”的“数学化”过程，这样的安排注重知识的生长点，建立在学生已有的知识技能基础之上，学生比较容易接受.利用生活经验中的数学事实，通过推理、反思，达到“数学化”，使“数学化”贯穿于学习的全过程,实现数学素养的提高.

从课堂实践看，需要给学生创造数学活动、数学思考、经历数学化的机会.关注学生数学化的过程，一是需要设计基于学生生活实践的问题情景，二是为学生搭建合适的数学活动，三是为学生提供进行自我建构的时间和空间.

2.2 反思课堂的教学效果

在整个教学过程中，由于教学设计时能够充分考虑学生已有的知识，合理地应用“数学化”的教学策略，从而使教学环节自然、流畅，在每一个环节，学生都能够积极参与.

在教学时，教师用推三角板画平行线的方法，让每位学生多画几条平行线,从中感悟画平行线的实质.教师通过动画演示来让学生关注保持原图像与像平行，学生参与了整个探究过程并归纳得到平行线的判定方法，使学生成为知识的发现者.

探讨皮划艇比赛中的平行航线问题，动手画平行航线，修正皮划艇在前进过程航向的偏离，以及不同港口出发2艘船的航线平行判定，成为本节课组织教学的主线.以“问题”贯穿整个教学过程，使学生在设问和释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯.

[1] 顾继玲.让学生经历“数学化”的过程[J].中学数学教学参考，2011(7):2-4.

[2] 罗增儒.数学效能的故事[J].中学数学教学参考，2011(5):1-4.

[3] 章建跃.探究教学规律造就教学名师[J].中国数学教育，2011(1/2):1-4.