谈“椭圆、双曲线标准方程”推导过程中教育价值的开发

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(江宁高级中学 江苏南京 211100)

谈“椭圆、双曲线标准方程”推导过程中教育价值的开发

●陈立军

(江宁高级中学 江苏南京 211100)

建立曲线方程和通过方程研究曲线的性质是解析几何的2个基本问题.因此，椭圆、双曲线标准方程的推导理应是课堂教学的重点，但当前的课堂教学中仍存在淡化、简化方程推导过程的教学行为，有的教师甚至假托圆锥曲线是高考中的热点、难点之名压缩方程过程的推导时间，盲目地把大量的教学时间用于方程的求解.其实，综观近几年高考对圆锥曲线的考查，求方程多是解答题的第(1)小题，难度不大.难度主要体现在第(2)小题、第(3)小题，重点考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力.对于椭圆、双曲线的标准方程，从结果即方程的表现形式上看，充分体现了数学的简洁美，但其推导过程更蕴含着丰富的教育价值.教学实际中，如果我们能钻得深一点、想得透一些，精心设计教学流程，便可以很好地开发椭圆、双曲线标准方程推导过程的教育价值，从而有效提升学生的数学学习能力.

1 方程的推导过程可以提高学生对算理的认识

解析几何因对学生的运算要求比较高，学生时有畏难情绪，这也是制约学生解题能力提升的一个重要原因.从根本上说，运算能力提高的关键是算理的提升.经过建立直角坐标系、设点坐标、列出等式、代入坐标的过程后，椭圆标准方程的推导难点是对复杂根式

(1)

的化简.由于初中阶段没有详细介绍含有2个根式的化简，因此教学时应详细给出化简过程，教材中也列出了常见化简方法的详细步骤.即将方程(1)移项后两边平方，整理可得

两边再平方后整理，得

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

笔者认为，在课堂教学中，与直接化简求得结果相比，更为重要的是以此化简为载体，帮助学生从算理上提高认识.为此，教学参考中也对上述化简过程给出了2点说明：(1)方程中只有一个根式时，需将根式单独留在方程的一边，然后两边平方；(2)方程中有2个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项，再两边平方，整理后化为方程只含一个根式，即为(1).(1)是学生已有技能的总结，(2)体现了化归的思想(化生为熟、化繁为简)，但是没有讲清楚“为什么”.

其实，对根式

的化简有多种方法(课堂上学生的反应也确实如此)，每一种方法不仅仅是公式法则的堆砌、形式的演绎，也揭示了数学形式化背后生动活泼的思维过程.教师应充分尊重学生的创造性劳动，哪怕仅是一个好的“念头”，鼓励学生大胆地尝试各种方法，并帮助学生提炼出方法背后的“道理”，加深学生对数学本质的深度理解.

1.1 不同方法的简述

方法1对

直接平方，这是课堂上学生的首选.但因为运算比较繁琐，很多教师舍弃了.即使有学生坚持，教师通常也以这种方法运算太繁了，打断了学生的回答，中止了学生的尝试.如果坚持走下去，此法“道路虽曲折”，但“前途是光明的”.略解如下.由

2a2-(x2+y2+c2)

⟺ [(x+c)2+y2]·[(x-c)2+y2]=

[2a2-(x2+y2+c2)]2，

左边= [x2+y2+c2-2cx]·[x2+y2+c2+2cx]=

(x2+y2+c2)2-4c2x2，

右边=(x2+y2+c2)2-4a2(x2+y2+c2)+4a4，

从而

4a4-4a2(x2+y2+c2)=-4c2x2,

即

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

方法2利用等差中项的概念.由

式(2)2-式(3)2后化简得

则

即

以下同教材的处理.

后实现分子有理化，可得

则

与式(1)联立，解得

以下同方法2.

1.2 不同方法的评述

正是由于初中阶段没有介绍复杂根式的化简，含有一个根式的等式化简是学生已掌握的技能，方法1处于学生的“最近发展区”，“道而弗牵、强而弗抑、开而弗达”，课堂上我们切不可“截断”学生思维的“自然流淌”，移项后平方固然可喜，但它是“帽子里突然蹦出的一只兔子”.直接平方看似繁琐，但若能引导学生仔细观察，辨析哪些是参与“实质性运算”的对象，对未参与“实质性运算”的能否简化表示，则以上的运算过程会有改变.令t=x2+y2+c2，则式(1)简化为

2 方程的推导过程可以加深学生对概念的理解和对圆锥曲线性质的挖掘

2.1 加深对数学概念的理解

推导方程结束以后，其意义不只是为了一个简单的结果，其背后还隐藏着丰富的教育价值有待开发.如果在后续圆锥曲线的学习过程中，教师适时地引导学生“回头看”，重新审视推导过程，会有新的发现，促进学生对离心率e的理解，有助于学生形成圆锥曲线的统一定义.

继而得

2.2 加深对圆锥曲线性质的挖掘

换一种思路，若对式(4)的两边平方，令b2=a2-c2，可将其变形得

即

即

x2+y2=a2(x≠±a),

表示以原点为圆心，a为半径的圆.这样获得的性质和定义不仅能刻画和描述圆锥曲线的特点，而且也有很好的解题功能.

3 方程的推导过程可以促进学生开展探究性学习

若联系数学运算的基本形式，可以引导学生去类比探究以下一些问题：

探究5平面内到3个定点的距离之和为常数的点的轨迹是什么？

探究2的轨迹是圆或线段的中垂线，探究3的轨迹是圆或点或不存在，探究4的轨迹是2条直线.探究1的结论比较复杂，它是卵形线，卵形线是由意大利天文学家卡西尼命名的.坦率地说，如果不是在2011年北京市数学高考试题中首次出现了与此曲线相关的试题，很多教师也不知道这种曲线.探究5也有一些复杂，可以让学生通过特例运用几何画板进行自主探究得到图形，称之为“圆角三角形”.

《普通高中数学课程标准(实验)》指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学经验.”在这个教学理念的指引下，探究性学习越来越被认可，并在课堂上进行大胆的尝试.

[1] 潘建国．在体验中“做”数学——记一次椭圆概念新授课[J].数学通报，2006(5)：35-38.

[2] 苏立标．探求以e2-1为定值的圆锥曲线问题[J].中学数学教学参考，2006(3)：21-22.

[3] 王庆丰．立足课本多思考深入发掘多惊喜——对“双曲线及其标准方程”教学设计的一个局部思考[J].中学数学教学参考，2007(21)：25-26.

[4] 李振雷．椭圆定义教学实践与思考[J].数学通报，2011(10)：62-64.