让位学生思考 践行新课理念
——正弦定理的教学困惑与研究

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(天水市第一中学 甘肃天水 741000)

让位学生思考践行新课理念
——正弦定理的教学困惑与研究

●宫前长

(天水市第一中学 甘肃天水 741000)

1 问题提出

正弦定理是三角函数学习后揭示任意三角形的边与角关系的一项重要内容，是学生学习三角函数化简、解斜三角形问题和一些实际问题常用的定理，是提高运算能力的良好素材.因其具有解决斜三角形问题的特征，以及其定理的多变性，使其成为教学的一个重点和难点.在使用课标教材人教社A版数学5进行“正弦定理”集体备课时展开讨论，产生的困惑主要是：

(1)该不该补充“正弦定理”的向量证法；

(2)重定理推导还是重应用，或两者兼顾.

为此，在新课标教学中如何构建让学生获得自由思考、探索、发现正弦定理的空间，其关键就是如何把握、定位正弦定理的教学.

2 教学前反思

2.1 教学目标的把握

“课标”的要求是通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.而“大纲”的要求是掌握正弦定理的内容及证明正弦定理的向量方法,会用正弦定理解决2类基本的解三角形问题.对比可知,对解三角形中的实际测量应用都有涉及到，因此，教学中应侧重创设问题情境，让学生主动地去观察、猜想、探索、发现和推证正弦定理，更要突出几何作用,要有意识地补充向量证明方法，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究的能力.

2.2 教材中的地位

从知识体系上看，正弦定理是属于三角函数这一章知识的拓展，从研究方法上看，是属于向量工具的应用.

2.3 教学重难点

新教材用特殊到一般的思路，采用几何法推导出正弦定理，目的是突出重点：正弦定理的发现和推导.在推导正弦定理的过程中，推导方法的选择是难点，尤其是以向量为工具证明正弦定理.这比旧教材直接用向量法进行证明效果要好.通过教材对比研究，应该将教学重点放在发现正弦定理、用几何法和向量法证明正弦定理.

2.4 学情分析

学生虽然学习了三角、向量知识，但直接用向量工具证明正弦定理还是有困难的，必须从已有的直角三角形知识出发，引领学生直接参与分析问题、解决问题并分享猜想、推导正弦定理成果的喜悦，充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用.

3 教学片断回放

为了更好地准确地把握新课程的设计理念，并用其引领新课的教学，教师应通过新旧教材对比，理清教材对正弦定理证明的要求和证明编排方式，才能明白新旧教材的变化以及这些变化的原因是什么.教材中余弦定理的证明采用的是向量法证明，自然要求在教学时，应在认识的最近区域引导学生利用向量法证明正弦定理，从而找到了教材编排的寓意.下面是教学片断回放，解除了课前困惑，充分凸显了教材的编排涵义和新课程理念.

3.1 探寻特例，提出猜想

从学生自身熟悉的特例(直角三角形)入手进行研究，发现正弦定理.

教师：直角三角形3条边与某一锐角的关系式有哪些？对这些关系式进行形式的整合后会发现新关系式吗？

(从直角三角形边角关系切入,渗透从特殊到一般的数学思想方法.让学生对直角三角形的边角关系式进行整合，打破学生原有数学认知结构的平衡状态,促进学生认知发展.)

(教师参与学生的讨论，2～3分钟.)

学生：猜想的结果在任意三角形中也成立.

教师：你能归纳、概括在任意三角形中成立的思路和理由吗？刚才大家积极主动地投入到数学发现中，其思维活动就是对数学家思维方式和思维过程的模拟.

(这样做在学生的心中树立了信心，学生对结论的认识从感性逐步上升到理性，为下一步证明猜想奠定了基础.)

学生：我们小组想到关系式是在直角三角形中猜想、归纳得到的，现在任意三角形中进行验证，只有构造直角三角形即把锐角、钝角三角形转化为直角三角形来求证，推导出关系式.推导过程如下：

在斜△ABC中，通过添加辅助线(三角形边上的高)，根据三角形面积不变的特征和锐角三角函数的概念，就会得到：

(凭着对三角形的熟悉及其直观判断，做出三角形每一条边上的高，依据面积相等得到结论.其过程就是传统的证明方法，体现出几何法直观明了的特征.学生的认识从感性逐步上升到理性，增强了学生的信心.)

教师：用几何画板进行数学实验：改变三角形的某个顶点的位置(即改变了三角形的形状)，观察表格中的边、对角正弦以及它们比值变化情况.观察发现：在拖动三角形的某个顶点的过程中，表格中边、对角正弦的数值大小也随着变化，但是它们的比值相等.

(这样做数学实验，给学生拓展探索的空间，增强学生的自信心，让学生真正感觉到自己在“做数学”，激起学生的好奇心和探究欲望,调动学生自主参与数学活动的积极性，让学生经历、体会数学系统演绎性和实验归纳性.)

3.2 开拓思维，证明猜想

教师：大家想一想还有其他的证明方法吗？在所学过的数学知识中，有没有数学知识和概念，同时包含长度和三角函数这些数学变量？

学生：平面向量.平面向量有向量的运算：加法、减法、数乘和数量积运算，同时包含有长度和三角函数的运算就是向量数量积运算.

教师：在三角形中如何得到向量等式？怎样可以同时出现包含长度和三角函数的式子？

教师：这样处理，与三角形的3条边都有关系，偏离了前面发现的三角形边角之间的一种正弦定理形式的关系.等式中对上述的向量j采取那些条件限制，才会比较容易得到正弦定理?

教师：这些想法很好，大家不妨试一试，做一做，能得到大家发现的结论形式吗?

(教师在巡视中，对学生进行了点拨、启发，学生在上述引导下，逐步能应用向量运算找到这种方法，心中的困惑没有了，暗中赞赏教材编者高超的处理方式，真正拓宽了学生的思维视野，促进了学生空间思维能力的培养.)

3分钟左右，有学生举手，教师示意该生将过程写在黑板上:

图1

从而

图2

教师：这位学生的证明很严谨，过程简捷，向量运算娴熟，值得大家学习！

3.3 深入探究,得出定理

教师：大家经历了上述从特殊情形发现正弦定理到发现思路(几何证法、向量证法)，推理证明，整个探索过程就是研究问题的一般方法.只有深入思考，才能对正弦定理的思维延伸到深层次.大家回忆上述推理过程，反思其中的思路有什么新发现？

(教师在巡视中，对学生进行了点拨、启发.不一会有学生举手，教师示意其发表见解.)

学生：从直角三角形边角关系进行形式的整合容易发现正弦定理，构造直角三角形，采用面积相等进行证明，简单、明了.

学生：在任意三角形中，各边与对角的正弦之间的一个关系式是正弦定理，可表示为

学生：上述发现的正弦定理的推导方法可以总结为：作三角形的高线，构造直角三角形的几何法；作垂直于三角形一边的向量，利用数量积运算的向量法.

教师：大家的思考、总结得很好，能够深刻地领悟数学思想方法，正确把握正弦定理的本质.

感悟教学时，学生在几何法证明的基础上，随着教师的引导、启发与点拨，通过提问与解答，层层递进，逐步搭设台阶,小步“加速”，平稳过渡，学生会自觉联系向量数量积的意义,显得自然，消除了教学前的顾虑，教学中借助向量工具来证明正弦定理，拓宽了学生的思维灵活性与广阔性，突出向量的工具性作用.同时，学生的学习比只用几何法或向量法证明正弦定理要自然些，从课堂练习看，学生主动思考和探究，说明重视定理的推导有利于解题思路的形成.教学过程体现了学生对知识的主动探究、主动发现和主动构建的过程.

教学时必须把握教材，领会课标精神，准确定位、把握教学目标，必要时对一些数学的核心概念进行探究，力争在教学的过程中经历体验、有所感悟.

4 再次思考，补充向量证法的教学取向

4.1 补充向量证法，锤炼了学生的思维能力

正弦定理在教材中采用从特殊到一般的思维方式，用几何方法进行证明，没有提出向量证明，但教材给出了余弦定理的向量证法，为此，在正弦定理的教学中，通过猜想、几何证明方法后，补充向量证法，学生的收获大，又消除了教师的教学困惑.

教学时，对学生的思维进行引导、点拨，让学生能够采用2种方法对正弦定理进行推导，有利于学生数学理性思维的提升.消除因教师直接提出某种方法而显得被动，能够培养学生提出问题的勇气和主动思考解决问题的意识.因此，对2种方法进行对比研究是有意义的.几何法是以逻辑推理作为工具解决问题，向量法是利用向量的概念及其向量运算解决问题.几何法与向量法是具有不同属性的知识体系和不同的工具，从不同的角度锤炼了学生的思维能力.主要体现在以下几点：

(1)从解决问题的思路看：几何法是欧几里得几何学所采用的方法，依据基本的逻辑推理，从公理出发，通过演绎推理证明正弦定理.向量法是通过向量关系式，利用向量的运算规律进行运算，其特点是将几何元素“点、线、面”与“向量”进行对应，再借助向量运算进行讨论，然后把这些结果“翻译”成关于点、线、面之间的相应关系.2种方法的实质是能够统一起来的.

(2)观察点引起的思考：从观察点看，在三角形的认识角度上，用几何法比向量法更趋近于学生的知识“最近发展区”，其看图、识图、析图和用图能力体现得很充分，尤其是直觉思维能力表现得更淋漓尽致.几何法虽然论证严谨，但却没有一般规律可循，即探索几何元素的关系时，往往需要引入灵活多变的辅助线才能解决问题.而向量法则往往不需要高水平的看图、识图、析图和用图能力及直觉思维能力，论证中更不需要寻找辅助线，远离了初中平面几何知识的铺垫，因而向量法给学生的思维层形成了不易接近和难以捉摸的特征.

(3)从思维训练的目标看：几何法是依据公理、定理等按照逻辑演绎，准确、简洁地用数学语言(文字、图形、符号)表示，有效训练了学生的逻辑思维能力，是一种定量解决问题的方法；而向量法是将逻辑演绎证明转化为数的一种运算，虽然过程繁琐，但降低了思维的难度，是一种从代数角度看待几何问题可操作的方法，能够提高学生的计算能力.

(4)向量法与几何法之间的对应关系：几何法涉及线段的长、线段之间的比例关系、线段平行、线段垂直分别对应向量法中向量的模、向量共线充要条件、向量数量积为0，这种类比将几何法的“形”与向量法的“量”统一起来，二者不可偏倚.

总之，2种方法各有优势，只是从不同的教学角度看待问题，从学生的“最近发展区”出发，解决问题的思路容易形成.让学生经历2种方法的推导过程，有利于学生的思维能力的培养和提升.

4.2 补充向量证法，凸显向量在教材中的地位

教学时启发学生联想、运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数等其他知识，推导出正弦定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的典型范例，同时提升了教材对向量工具使用的系统性，揭示了“课标”蕴含在教材中的理念.向量在研究几何问题时提供了2种方法：向量法与坐标法，它们在实际问题与数学问题、“数”与“形”之间搭起了“桥梁”.

4.3 补充向量证法，提升了教材的系统性

正弦定理的学习安排在必修4(包括三角函数与平面向量)之后.正弦定理的探究可以采用向量的方法.

学生虽然刚学过必修4中的平面向量知识，但要利用向量推导正弦定理，不论是知识应用还是运算技巧，都有一定的困难.因此突破这一难点的关键是引导学生通过向量的数量积把三角形的边长和内角的三角函数联系起来.

为了更好地突出重点和突破难点，采用本文的发现学习方法，引导学生自主探索与思考，不断参与和探究，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，激起学生的好奇心和探究欲望,让学生真正感觉到自己在“做数学”.这样就会给学生创设一个自由思考、合作交流的空间，让学生生动活泼的学习个性得到体现、张扬，激发了学生的思考热情，开阔了数学眼界.

5 教学反思

5.1 对比新旧教材，追问“变化”原因

从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，最后推导出正弦定理.本节课，研究问题的突出特点是从特殊到一般，也可以利用几何画板进行数学实验.这样不仅收获结论，而且在整个探索过程中也掌握了研究问题的一般方法.

领悟新课程理念的有效可行方法就是在新旧教材的变化对比中去思考、去感悟，再在教学中去实践、去反思.

5.2 凸显编排位置，拓展探究空间

众所周知，新教材一直坚持从形和数2个方面来构建和探究数学，向量作为数形结合的载体，具有桥梁的作用.教材中对余弦定理的证明是采用向量方法进行证明，这就足以说明向量工具的重要作用，暗含着要帮助学生体会数学内部联系所揭示的线段长度与角度的函数关系，引导并帮助学生掌握向量这一重要的数学工具.

5.3 强化合理施“教”，消除困惑心理

在新课程教学中，力争符合学生的认知发展规律，让位学生思考，就是让学生的思维小步“加速”，平稳过渡，学生才会在“观察—猜想—实验—证明—应用”这一思维过程中主动参与正弦定理的发现、探究，取得良好的教学效果.在探究过程中，教师一定要做好引领者，让学生以“活动”促学习，激“主动”求发展，用“合作”、“探究”求创新，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力，帮助学生完成从量变到质变的飞跃，教学前的所有困惑就会消失得无影无踪，这正是合理施“教”后的高效收获.

正因为如此，教师一定会有这样的体会：教像“春雨”，学如“润物”，悟在“无声”，乐胜“有声”.

[1] 宫前长.新教材中“探究”的思维历程及教学取向[J].中国数学教育(高中版)，2011(10)：36-38．

[2] 刘莉.“四步”备课扎实有效[J].中国数学教育(高中版)，2010(12)：8-10.