基于扑克概率的编程算法研究

陈 思

（福州大学 数学与计算机科学学院，福建 福州 350000）

0 背景

德克萨斯扑克全称Texas Hold’em poker，中文简称“德州扑克”。它是一种玩家对玩家的公共牌类游戏。一张台面至少2人，最多22人，一般是由2－10人参加。德州扑克一共有52张牌，没有王牌。每个玩家分两张牌作为“底牌”，五张由荷官陆续朝上发出的公共牌。开始的时候，每个玩家会有两张面朝下的底牌。经过所有押注圈后，若仍不能分出胜负，游戏会进入“摊牌”阶段，也就是让所剩的玩家亮出各自的底牌以较高下，持大牌者获胜。因技巧性强，易学难精又被称为“扑克游戏中的凯迪拉克”。

在这个游戏里，如何根据手头的牌以及桌面上的牌计算概率，成为胜负的关键。与一副牌的已知牌型计算不同，德州扑克不但需要计算牌型的RANK（即排名）值，更需要计算出当前牌型的具体胜率。其中具体的胜率计算非常复杂，笔者将在本文中探讨一种可行的方式。

1 游戏介绍

由于本文为概率计算介绍，不在赘述德州扑克中关于筹码的计算规则，仅把扑克的基本胜负规则做一个阐述。

每个玩家拥有两张底牌，桌面上将陆续发至5张公共牌。当全部5张公共牌发完后，玩家用自己的2张底牌和5张公共牌结合在一起，选出5张牌，不论手中的牌使用几张（甚至可以不用手中的底牌），凑成最大的成牌，跟其他玩家比大小。

比牌先比牌型，大的牌型大于小的牌型，牌型一般分为10种，从大到小为:皇家同花顺（royal flush）:由AKQJ10五张组成，并且这5张牌花色相同；同花顺(straight flush）:由五张连张同花色的牌组成；4条（four of a kind）:4张同点值的牌加上一张其他任何牌；满堂红（full house）（又称“葫芦”）:3 张同点值加上另外一对；同花（flush）:5 张牌花色相同，但是不成顺子；顺子（straight）:五张牌连张，至少一张花色不同；3条（three of a kind）:三张牌点值相同，其他两张各异；两对（two pairs）:两对加上一个杂牌；一对（one pair）:一对加上 3张杂牌；高牌（high card）:不符合上面任何一种牌型的牌型，由单牌且不连续不同花的组成。

2 问题详述与分解

在本文中，笔者们的主要问题就是，需要计算玩家的胜率。换句话来说，假设当玩家持有AK（不同花色）时，桌面上为2,3,4,K,Q，且此时共同游戏的玩家有9名 （即竞争对手有8名），这种情况的胜算是多大，就是笔者们需要计算的值。

由于笔者们对于另外8个竞争对手手上的牌一无所知，计算胜率时，笔者们需要穷举所有的8名玩家可能出现的所有牌型，并一一分析，最后得出实际胜率。

为了研究简便，笔者们将游戏被分解为这样的问题:

1）一副牌中，任意取出五张，需要程序马上计算出它在所有牌型中的排名；

2）已知七张牌中，计算这7张牌能凑出的最大牌型；

3）根据当前公共牌面、人数，穷举所有情况，并一一对比从而计算胜率（后续内容将证明这种方式并不科学并会给出解决方案）。

本论文中将解决以上问题，并编写为IPHONE APP。解决问题时，考虑到IPHONE处理器的处理水平，解决过程进行过专门的优化处理。

2.1 牌型的排名

计算牌型的排名涉及到牌型之间的对比。由于上述的分解步骤中，第三部（即穷举步）将进行大数量级的牌型对比，在这种对比中，每次都调用牌型分析函数是不明智的，笔者们需要将牌型以及其对应的排名一次性计算出来，并予以储存，方便快速调用。

一副扑克一共有52张，从其中抽出5张的可能性一共有:2598960种可能性。如果将以上情况一一存储（需要存储牌值以及排名），至少需要20M左右的存储空间。这不但会让整个应用程序变的臃肿，更会大幅降低检索速度。

本文采取的方式如下:

2.1.1 考虑到德州扑克的牌型大小对比时，不考虑花色。即红桃10JQKA与黑桃的10JQKA被认为是一样大。每次计算某5张牌的值时，用这种方式表示当前牌型:

1）不管牌型花色；

2）计算牌型中重复的牌，并对其计数。

编码规则:

笔者设立了一个长度为52的数组，其中0,4,8,12….48所有被4整除的整数将分别用于代表扑克上的数字，规则是n代表(n/4)+1。在这里笔者们将扑克A计数为1，K计数为13，Q计数为12，而J技术为11。而无法被4整除的数，将用来代表上述数字的牌面，出现了多少次。

举例来说:红桃A,黑桃A，方块K，梅花K，黑桃6这个牌型，经过以上整理，被编码为:2,50,20。 （例 3.1）

用数学表达来说，假设编码后的数字为i,j,k，则代表原牌型为:

(i%4+1)张的(i－i%4)/4+1,(j%4+1)张的(j－j%4)/4+1,(k%4+1)张的(kk%4)/4+1

从以上例子来看，2,50,20并不仅仅代表红桃A,黑桃A，方块K，梅花K，黑桃6这种情况，实际上，它代表了所有一对A，一对K以及一张单张6的牌型而不管花色如何。

2.1.2 为了方便数据存储并保证牌型的唯一性（即确保不一样的牌型笔者们会以不同的数据存储起来），笔者采用64位随机数来代表所有牌型。

代码如下:

PNC数组即代表不同数字（1－K）以及不同数量（1张到4张）的所有情况。以之前的“红桃A,黑桃A，方块K，梅花K，黑桃6”牌型为例，如果需要将该牌型进行唯一标识，采取以下方式:

Zobrist=PNC[2]^PNC[20]^PNC[50];//Zobrist即计算出的牌型值，它是唯一的。

2.1.3 有了以上的数组后，即可以通过遍历所有牌型情况，给每一种牌型进行评分。为了方便计算，采取的方法是将牌型由大到小进行排列，将最大的牌型记为1分，第二大的牌型记为2分，相同的牌型分值相同，以此类推。

相关代码示例如下:

2.2 概率的计算

根据2.1节所述，我们可以知道当所有桌面牌都被发下后，可以通过简单的排列组合得出手上两张牌与桌面5张牌结合中最大的牌型，举例来说:

玩家手牌:红桃K,黑桃A

桌面牌:梅花 K,方块K,红桃Q,黑桃 J,方块 10

则最大牌型为顺子，即:黑桃A，方块K（或者其他两色K），红桃Q,黑桃J,方块10。接下来，需要根据手头的牌型以及桌面的5张牌，计算胜率。由于德州扑克的复杂性，前面说到，如果要精确计算概率，那么其数量级是非常庞大的，当玩家超过3名以后，当前的计算机也无法完成这样的计算任务。（具体算法如下）

一般德州扑克的玩家是6名以上，这样计算胜率根本是不现实的。但是，我们注意到，概率计算除了精确计算以外，我们可以采取非精确估计法。

举例来说，玩家的某个牌型，我们并不清楚其究竟是否会获胜，我们可以随机生成其余玩家的牌型，我们把生成完毕的情况称为一组牌局，每随机生成一组牌局，我们就对比当前玩家与其他随机生成玩家的牌型，以计算当前玩家是否获胜，如果获胜，就把胜利局数计数器加1，当模拟牌局数量超过某个值时，计算模拟局中当前玩家获胜的次数与总牌局数量的比值，即为我们想要的胜率。

这样，我们将一个天文数字的牌局对比，下降到计算机可以接受的程度，以6名玩家为例，总共需要计算的牌型情况为:

如果我们设置总局数为10000局，则计算总数为1260000，该数量级对于计算机来说非常轻松，实际测试中，一台普通配置的个人电脑可以在3秒内完成该计算。局数越多，则计算出的概率与实际值就越接近，根据2玩家小规模测试，总局数在2000局以上时，计算出的概率已经非常接近于真实值，局数大幅增加虽然让数字更加接近，但实际意义并不大。

3 总结

通过牌型的存储与计算以及一种基于概率的非精确算法，我们从一定程度上解决了德州扑克的概率问题，在实际应用中，我们发现这种方法的准确率较高，已经可以从一定意义上指导牌局。当然，随着技术的发展，应该会有更加先进的算法出现，本文所述的方法也仍有一定的提升空间（如加大模拟局的总数，采取后台计算等等），后续笔者会持续跟进本项目研究。